(1) 関数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ が $a \in \mathbb{R}$ において連続であることの定義を述べる。 (2) 関数 $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ は連続関数であり、$x \neq 0$ のとき $g(x) = \frac{x^2 + x}{e^{3x} - 1} + x^2 \cos(\frac{1}{x})$ であるとする。このとき、$g(0)$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ が $a \in \mathbb{R}$ において連続であることの定義を述べる。

(2) 関数 $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ は連続関数であり、$x \neq 0$ のとき $g(x) = \frac{x^2 + x}{e^{3x} - 1} + x^2 \cos(\frac{1}{x})$ であるとする。このとき、$g(0)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f$ が $a$ で連続であるとは、

任意の $\epsilon > 0$ に対して、ある $\delta > 0$ が存在して、 $|x - a| < \delta$ ならば $|f(x) - f(a)| < \epsilon$ が成り立つことである。

または、$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ が成り立つことである。

(2) $g(x)$ は連続関数であるから、$g(0) = \lim_{x \to 0} g(x)$ である。

したがって、

$$g(0) = \lim_{x \to 0} g(x) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{x^2 + x}{e^{3x} - 1} + x^2 \cos(\frac{1}{x}) \right)$$

まず、

$$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + x}{e^{3x} - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{x(x+1)}{e^{3x} - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{e^{3x} - 1} \cdot \lim_{x \to 0} (x+1)$$

ここで、$\lim_{x \to 0} (x+1) = 1$ である。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{x} = 3$ より、$\lim_{x \to 0} \frac{x}{e^{3x} - 1} = \frac{1}{3}$ である。

したがって、

$$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + x}{e^{3x} - 1} = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$$

次に、

$$\lim_{x \to 0} x^2 \cos(\frac{1}{x})$$

$-1 \leq \cos(\frac{1}{x}) \leq 1$ であるから、$-x^2 \leq x^2 \cos(\frac{1}{x}) \leq x^2$ となる。

$\lim_{x \to 0} -x^2 = 0$ かつ $\lim_{x \to 0} x^2 = 0$ であるから、挟みうちの原理より、

$$\lim_{x \to 0} x^2 \cos(\frac{1}{x}) = 0$$

よって、

$$g(0) = \lim_{x \to 0} g(x) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{x^2 + x}{e^{3x} - 1} + x^2 \cos(\frac{1}{x}) \right) = \frac{1}{3} + 0 = \frac{1}{3}$$

3. 最終的な答え

$g(0) = \frac{1}{3}$