与えられた3つの集合A, B, Cそれぞれについて、上に有界か、下に有界かを判断し、有界である場合は上界または下界を1つずつ答えます。 集合は以下の通りです。 $A = \{2n | n \in \mathbb{Z}\}$ $B = \{x | x < \sqrt{2}, x \in \mathbb{Q}\}$ $C = \{x | x^2 < 2, x \in \mathbb{R}\}$

1. 問題の内容

与えられた3つの集合A, B, Cそれぞれについて、上に有界か、下に有界かを判断し、有界である場合は上界または下界を1つずつ答えます。

集合は以下の通りです。

$A = \{2n | n \in \mathbb{Z}\}$

$B = \{x | x < \sqrt{2}, x \in \mathbb{Q}\}$

$C = \{x | x^2 < 2, x \in \mathbb{R}\}$

2. 解き方の手順

(1) 集合Aについて

$A = \{2n | n \in \mathbb{Z}\}$ は、整数nを2倍した数の集合です。nは任意の整数を取りうるので、$A$は正の無限大にも負の無限大にも発散します。したがって、$A$は上にも下にも有界ではありません。

(2) 集合Bについて

$B = \{x | x < \sqrt{2}, x \in \mathbb{Q}\}$ は、$\sqrt{2}$より小さい有理数の集合です。$B$は上に有界であり、上界の1つとして$\sqrt{2}$が挙げられます。$\sqrt{2}$より大きい任意の数も上界となります。$B$は下に有界ではありません。$-\infty$に発散します。

(3) 集合Cについて

$C = \{x | x^2 < 2, x \in \mathbb{R}\}$ は、$x^2 < 2$を満たす実数xの集合です。この不等式は $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ と同値です。

したがって、$C$は上に有界であり、上界の1つとして$\sqrt{2}$が挙げられます。また、$C$は下に有界であり、下界の1つとして$-\sqrt{2}$が挙げられます。

3. 最終的な答え

A: 上にも下にも有界ではない。

B: 上に有界。上界の例: $\sqrt{2}$

C: 上に有界で、下に有界。上界の例: $\sqrt{2}$、下界の例: $-\sqrt{2}$