定積分 $\int_{0}^{2} \cos \frac{\pi(5t+1)}{6} dt$ を計算してください。

承知いたしました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{2} \cos \frac{\pi(5t+1)}{6} dt$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、積分記号の中身を整理します。

$\frac{\pi(5t+1)}{6} = \frac{5\pi}{6}t + \frac{\pi}{6}$

したがって、積分は以下のようになります。

$\int_{0}^{2} \cos (\frac{5\pi}{6}t + \frac{\pi}{6}) dt$

ここで、置換積分を行います。

$u = \frac{5\pi}{6}t + \frac{\pi}{6}$ とおくと、

$\frac{du}{dt} = \frac{5\pi}{6}$

$dt = \frac{6}{5\pi}du$

また、積分範囲も変更します。

$t=0$ のとき、$u = \frac{\pi}{6}$

$t=2$ のとき、$u = \frac{5\pi}{6}(2) + \frac{\pi}{6} = \frac{10\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$

したがって、積分は以下のようになります。

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{11\pi}{6}} \cos(u) \frac{6}{5\pi} du$

$\frac{6}{5\pi} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{11\pi}{6}} \cos(u) du$

$\frac{6}{5\pi} [\sin(u)]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{11\pi}{6}}$

$\frac{6}{5\pi} (\sin(\frac{11\pi}{6}) - \sin(\frac{\pi}{6}))$

$\sin(\frac{11\pi}{6}) = \sin(2\pi - \frac{\pi}{6}) = - \sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$

$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

$\frac{6}{5\pi} (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{6}{5\pi}(-1) = -\frac{6}{5\pi}$

3. 最終的な答え

$-\frac{6}{5\pi}$