次の広義積分が収束することを示す問題です。 $\int_{0}^{\infty} \frac{\log(1 + \sqrt{x})}{1 + x^2} dx$

## 問題 15 (1) の解答

1. 問題の内容

次の広義積分が収束することを示す問題です。

$\int_{0}^{\infty} \frac{\log(1 + \sqrt{x})}{1 + x^2} dx$

2. 解き方の手順

(i) $x = t^2$ と変数変換します。このとき、$dx = 2t dt$ となり、積分範囲は $x: 0 \to \infty$ に対して $t: 0 \to \infty$ となります。したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{\infty} \frac{\log(1 + \sqrt{x})}{1 + x^2} dx = \int_{0}^{\infty} \frac{\log(1 + t)}{1 + t^4} 2t dt = 2\int_{0}^{\infty} \frac{t\log(1 + t)}{1 + t^4} dt$

(ii) 広義積分 $\int_{0}^{\infty} f(t) dt$ の収束性を議論するために、$t = 0$ 近傍と $t = \infty$ 近傍での振る舞いを調べます。

まず、$t \to 0$ のとき、$\frac{t\log(1 + t)}{1 + t^4} \sim t^2$ です。$\int_{0}^{1} t^2 dt$ は収束するので、$t = 0$ 近傍では積分は収束します。

次に、$t \to \infty$ のとき、$\frac{t\log(1 + t)}{1 + t^4} \sim \frac{t\log t}{t^4} = \frac{\log t}{t^3}$ です。

$\int_{1}^{\infty} \frac{\log t}{t^3} dt$ を評価します。

(iii) $u = \log t$ とおくと、$t = e^u$、$dt = e^u du$ となります。積分範囲は $t: 1 \to \infty$ に対して $u: 0 \to \infty$ となります。したがって、

$\int_{1}^{\infty} \frac{\log t}{t^3} dt = \int_{0}^{\infty} \frac{u}{e^{3u}} e^u du = \int_{0}^{\infty} u e^{-2u} du$

この積分は部分積分で計算できます。

$I = \int_{0}^{\infty} u e^{-2u} du$ とおくと、

$I = \left[ -\frac{1}{2} u e^{-2u} \right]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} \frac{1}{2} e^{-2u} du = 0 + \left[ -\frac{1}{4} e^{-2u} \right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{4}$

したがって、$\int_{1}^{\infty} \frac{\log t}{t^3} dt$ は収束します。

(iv) 以上の議論より、$\int_{0}^{\infty} \frac{t\log(1 + t)}{1 + t^4} dt$ は収束します。したがって、与えられた広義積分 $\int_{0}^{\infty} \frac{\log(1 + \sqrt{x})}{1 + x^2} dx$ も収束します。

3. 最終的な答え

与えられた広義積分は収束する。

## 問題 15 (2) の解答

1. 問題の内容

次の広義積分が収束することを示す問題です。

$\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x}(2 + \cos x)}$

2. 解き方の手順

(i) 被積分関数を $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}(2 + \cos x)}$ とおきます。$x$ が $0$ に近づくとき、$2 + \cos x$ は $2 + 1 = 3$ に近づくので、$f(x) \approx \frac{1}{3\sqrt{x}}$ と近似できます。

(ii) $\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x}}$ を評価します。

$\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x}} = \int_{0}^{1} x^{-1/2} dx = \left[ 2x^{1/2} \right]_{0}^{1} = 2$

これは収束します。

(iii) $f(x)$ を $\frac{1}{\sqrt{x}}$ で比較します。

$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{1/\sqrt{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{1/\sqrt{x}(2 + \cos x)}{1/\sqrt{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2 + \cos x} = \frac{1}{3}$

(iv) 極限が存在し、有限の値であるため、比較定理より $\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x}}$ が収束することから $\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x}(2 + \cos x)}$ も収束します。

3. 最終的な答え

与えられた広義積分は収束する。