$\int_{0}^{1} \arctan x \, dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

$\int_{0}^{1} \arctan x \, dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

逆三角関数の積分なので、部分積分を用います。

$u = \arctan x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{1+x^2} dx$, $v = x$ となります。

したがって、

$\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1+x^2} \, dx$

ここで、$\int \frac{x}{1+x^2} \, dx$ を計算するために、$t = 1+x^2$ と置換すると、$dt = 2x \, dx$ となります。

よって、

$\int \frac{x}{1+x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} \, dt = \frac{1}{2} \ln |t| + C = \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C$

したがって、不定積分は

$\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C$

定積分は

$\int_{0}^{1} \arctan x \, dx = \left[ x \arctan x - \frac{1}{2} \ln (1+x^2) \right]_{0}^{1}$

$= (1 \cdot \arctan 1 - \frac{1}{2} \ln (1+1^2)) - (0 \cdot \arctan 0 - \frac{1}{2} \ln (1+0^2))$

$= \arctan 1 - \frac{1}{2} \ln 2 - (0 - \frac{1}{2} \ln 1)$

$= \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2 - 0$

$= \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2$