曲線 $y = \log x$ と $x$ 軸と直線 $x = e^2$ で囲まれた図形 $S$ を $x$ 軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積 $V$ を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = \log x$ と $x$ 軸と直線 $x = e^2$ で囲まれた図形 $S$ を $x$ 軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積 $V$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

回転体の体積 $V$ は、以下の定積分で求めることができます。

$V = \pi \int_{a}^{b} y^2 dx$

ここで、$y = \log x$ であり、積分区間は、$x$ 軸との交点から $x = e^2$ までです。$y = \log x$ と $x$ 軸との交点は、$y = 0$ のときなので、$\log x = 0$ より、$x = 1$ となります。したがって、積分区間は $1$ から $e^2$ です。

$V = \pi \int_{1}^{e^2} (\log x)^2 dx$

$(\log x)^2$ の積分を行うために、部分積分を2回用います。

まず、$u = (\log x)^2$, $dv = dx$ とおくと、$du = 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} dx$, $v = x$ となります。

$\int (\log x)^2 dx = x(\log x)^2 - \int x \cdot 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} dx = x(\log x)^2 - 2\int \log x dx$

次に、$\int \log x dx$ を計算するために、再度部分積分を行います。$u = \log x$, $dv = dx$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$ となります。

$\int \log x dx = x\log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x\log x - \int dx = x\log x - x$

したがって、

$\int (\log x)^2 dx = x(\log x)^2 - 2(x\log x - x) = x(\log x)^2 - 2x\log x + 2x$

$V = \pi \int_{1}^{e^2} (\log x)^2 dx = \pi [x(\log x)^2 - 2x\log x + 2x]_{1}^{e^2}$

$V = \pi [(e^2 (\log e^2)^2 - 2e^2 \log e^2 + 2e^2) - (1 (\log 1)^2 - 2(1)\log 1 + 2(1))]$

$V = \pi [(e^2 (2)^2 - 2e^2(2) + 2e^2) - (0 - 0 + 2)]$

$V = \pi [(4e^2 - 4e^2 + 2e^2) - 2] = \pi [2e^2 - 2]$

$V = 2\pi (e^2 - 1)$

3. 最終的な答え

$V = 2\pi (e^2 - 1)$