$f(x) = \cos x$ のとき、導関数の定義に従って、$f'(x) = -\sin x$ を証明する問題です。空欄ア、イ、ウ、エ、オ、カを埋める必要があります。

1. 問題の内容

$f(x) = \cos x$ のとき、導関数の定義に従って、$f'(x) = -\sin x$ を証明する問題です。空欄ア、イ、ウ、エ、オ、カを埋める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、導関数の定義から始めます。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

$f(x) = \cos x$ なので、$f(x+h) = \cos(x+h)$ です。したがって、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x+h) - \cos x}{h}$

(ア) $\cos(x+h)$

次に、$\cos(x+h)$ に加法定理 $\cos(x+h) = \cos x \cos h - \sin x \sin h$ を適用します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos x \cos h - \sin x \sin h - \cos x}{h}$

(イ) $\cos x \cos h - \sin x \sin h$

分子を $\cos x$ でまとめます。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos x (\cos h - 1) - \sin x \sin h}{h}$

(ウ) $\cos h - 1$

次に、分数を二つの項に分けます。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \left( \cos x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} - \sin x \cdot \frac{\sin h}{h} \right)$

ここで、$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h}$ を計算するために、$\frac{\cos h - 1}{h}$ に $\frac{\cos h + 1}{\cos h + 1}$ を掛けます。

$\frac{\cos h - 1}{h} = \frac{(\cos h - 1)(\cos h + 1)}{h(\cos h + 1)} = \frac{\cos^2 h - 1}{h(\cos h + 1)} = \frac{-\sin^2 h}{h(\cos h + 1)}$

したがって、

$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-\sin^2 h}{h(\cos h + 1)} = \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} \cdot \frac{-\sin h}{\cos h + 1}$

(エ) $-\sin^2 h$

ここで、$\lim_{h \to 0} \frac{-\sin h}{\cos h + 1} = \frac{0}{1+1} = 0$ です。

(オ) $-\sin h$

また、$\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ であることが知られています。

(カ) $1$

したがって、

$f'(x) = \cos x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} - \sin x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = \cos x \cdot 0 - \sin x \cdot 1 = -\sin x$

3. 最終的な答え

ア：$\cos(x+h)$

イ：$\cos x \cos h - \sin x \sin h$

ウ：$\cos h - 1$

エ：$-\sin^2 h$

オ：$-\sin h$

カ：$1$

$f'(x) = -\sin x$