定積分 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{\cos x}{1 + \cos x} dx$ を計算してください。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{\cos x}{1 + \cos x} dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を変形します。

$\frac{\cos x}{1 + \cos x} = \frac{1 + \cos x - 1}{1 + \cos x} = 1 - \frac{1}{1 + \cos x}$

次に、$1 + \cos x$ を半角の公式を用いて変形します。

$\cos x = 2\cos^2(\frac{x}{2}) - 1$ であるから、$1 + \cos x = 2\cos^2(\frac{x}{2})$ となります。

したがって、$\frac{1}{1 + \cos x} = \frac{1}{2\cos^2(\frac{x}{2})} = \frac{1}{2}\sec^2(\frac{x}{2})$

よって、

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{\cos x}{1 + \cos x} dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} (1 - \frac{1}{2}\sec^2(\frac{x}{2})) dx$

$= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} 1 dx - \frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \sec^2(\frac{x}{2}) dx$

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} 1 dx = [x]_{-\frac{\pi}{2}}^{0} = 0 - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$

$\int \sec^2(\frac{x}{2}) dx$ について、$\frac{x}{2} = t$ と置換すると、$x = 2t$, $dx = 2dt$ となるから、

$\int \sec^2(\frac{x}{2}) dx = \int \sec^2(t) \cdot 2dt = 2\int \sec^2(t) dt = 2\tan(t) + C = 2\tan(\frac{x}{2}) + C$

したがって、

$\frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \sec^2(\frac{x}{2}) dx = \frac{1}{2}[2\tan(\frac{x}{2})]_{-\frac{\pi}{2}}^{0} = [\tan(\frac{x}{2})]_{-\frac{\pi}{2}}^{0} = \tan(0) - \tan(-\frac{\pi}{4}) = 0 - (-1) = 1$

よって、

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{\cos x}{1 + \cos x} dx = \frac{\pi}{2} - 1$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2} - 1$