広義積分の値を求める問題です。具体的には、以下の4つの積分を計算します。 (1) $\int_0^1 \log x \, dx$ (2) $\int_0^1 x \log x \, dx$ (3) $\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x}} \, dx$ (4) $\int_{-1}^0 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$

1. 問題の内容

広義積分の値を求める問題です。具体的には、以下の4つの積分を計算します。

(1) $\int_0^1 \log x \, dx$

(2) $\int_0^1 x \log x \, dx$

(3) $\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x}} \, dx$

(4) $\int_{-1}^0 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_0^1 \log x \, dx$

部分積分を行います。$u = \log x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$ となります。

$\int \log x \, dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \log x - \int 1 \, dx = x \log x - x + C$

広義積分なので、極限を取ります。

$\int_0^1 \log x \, dx = \lim_{a \to +0} \int_a^1 \log x \, dx = \lim_{a \to +0} [x \log x - x]_a^1 = (1 \log 1 - 1) - \lim_{a \to +0} (a \log a - a)$

$\lim_{a \to +0} a \log a = 0$ (ロピタルの定理を使うか、既知の結果として使います。)

よって、$\int_0^1 \log x \, dx = (0 - 1) - (0 - 0) = -1$

(2) $\int_0^1 x \log x \, dx$

部分積分を行います。$u = \log x$, $dv = x \, dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{1}{2}x^2$ となります。

$\int x \log x \, dx = \frac{1}{2}x^2 \log x - \int \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{1}{2}x^2 \log x - \frac{1}{2} \int x \, dx = \frac{1}{2}x^2 \log x - \frac{1}{4}x^2 + C$

広義積分なので、極限を取ります。

$\int_0^1 x \log x \, dx = \lim_{a \to +0} \int_a^1 x \log x \, dx = \lim_{a \to +0} [\frac{1}{2}x^2 \log x - \frac{1}{4}x^2]_a^1 = (\frac{1}{2}(1)^2 \log 1 - \frac{1}{4}(1)^2) - \lim_{a \to +0} (\frac{1}{2}a^2 \log a - \frac{1}{4}a^2)$

$\lim_{a \to +0} a^2 \log a = 0$ (ロピタルの定理を使うか、既知の結果として使います。)

よって、$\int_0^1 x \log x \, dx = (0 - \frac{1}{4}) - (0 - 0) = -\frac{1}{4}$

(3) $\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x}} \, dx$

置換積分を行います。$t = \sqrt{1-x}$ とすると、$t^2 = 1-x$, $x = 1-t^2$, $dx = -2t \, dt$ となります。

積分範囲も変更します。$x = 0$ のとき $t = 1$, $x = 1$ のとき $t = 0$。

$\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x}} \, dx = \int_1^0 \frac{1-t^2}{t} (-2t) \, dt = 2 \int_0^1 (1-t^2) \, dt = 2 [t - \frac{1}{3}t^3]_0^1 = 2 (1 - \frac{1}{3}) = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

(4) $\int_{-1}^0 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$

置換積分を行います。$t = 1-x^2$ とすると、$dt = -2x \, dx$, $x \, dx = -\frac{1}{2} dt$ となります。

積分範囲も変更します。$x = -1$ のとき $t = 0$, $x = 0$ のとき $t = 1$。

$\int_{-1}^0 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{t}} (-\frac{1}{2}) \, dt = -\frac{1}{2} \int_0^1 t^{-\frac{1}{2}} \, dt = -\frac{1}{2} [2t^{\frac{1}{2}}]_0^1 = -\frac{1}{2} (2\sqrt{1} - 2\sqrt{0}) = -\frac{1}{2} (2 - 0) = -1$

3. 最終的な答え

(1) $\int_0^1 \log x \, dx = -1$

(2) $\int_0^1 x \log x \, dx = -\frac{1}{4}$

(3) $\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x}} \, dx = \frac{4}{3}$

(4) $\int_{-1}^0 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = -1$