$f(x) = a\cos^2 x + b\sin^2 x$ という関数が与えられており、$f(\frac{\pi}{12}) = 1 + \sqrt{3}$ と $f'(\frac{\pi}{12}) = -2$ を満たすとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$f(x) = a\cos^2 x + b\sin^2 x$ という関数が与えられており、$f(\frac{\pi}{12}) = 1 + \sqrt{3}$ と $f'(\frac{\pi}{12}) = -2$ を満たすとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(\frac{\pi}{12}) = 1 + \sqrt{3}$ の条件から、$a\cos^2 (\frac{\pi}{12}) + b\sin^2 (\frac{\pi}{12}) = 1 + \sqrt{3}$ を得ます。

次に、$f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = -2a\cos x \sin x + 2b\sin x \cos x = (2b - 2a)\sin x \cos x = (b - a)\sin 2x$

$f'(\frac{\pi}{12}) = -2$ の条件から、 $(b - a)\sin (\frac{\pi}{6}) = -2$ を得ます。

$\sin (\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ なので、 $(b - a) \cdot \frac{1}{2} = -2$。したがって、$b - a = -4$。

$\cos^2 (\frac{\pi}{12})$ と $\sin^2 (\frac{\pi}{12})$ を計算します。

$\cos (\frac{\pi}{12}) = \cos (15^\circ) = \cos (45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$\cos^2 (\frac{\pi}{12}) = (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})^2 = \frac{6 + 2\sqrt{12} + 2}{16} = \frac{8 + 4\sqrt{3}}{16} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

$\sin (\frac{\pi}{12}) = \sin (15^\circ) = \sin (45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

$\sin^2 (\frac{\pi}{12}) = (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})^2 = \frac{6 - 2\sqrt{12} + 2}{16} = \frac{8 - 4\sqrt{3}}{16} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

$a\cos^2 (\frac{\pi}{12}) + b\sin^2 (\frac{\pi}{12}) = 1 + \sqrt{3}$ に代入すると、

$a \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + b \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{4} = 1 + \sqrt{3}$

$a(2 + \sqrt{3}) + b(2 - \sqrt{3}) = 4 + 4\sqrt{3}$

$b = a - 4$ を代入すると、

$a(2 + \sqrt{3}) + (a - 4)(2 - \sqrt{3}) = 4 + 4\sqrt{3}$

$2a + a\sqrt{3} + 2a - a\sqrt{3} - 8 + 4\sqrt{3} = 4 + 4\sqrt{3}$

$4a - 8 + 4\sqrt{3} = 4 + 4\sqrt{3}$

$4a = 12$

$a = 3$

$b = a - 4 = 3 - 4 = -1$

3. 最終的な答え

$a = 3$, $b = -1$