はい、承知いたしました。画像に写っている数学の問題を解きます。

はい、承知いたしました。画像に写っている数学の問題を解きます。

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1. 問題の内容**

与えられた10個の不定積分を計算する問題です。ここでは、(1)と(10)の問題を解きます。

(1) $\int x \tan^{-1} x \, dx$

(10) $\int \frac{x}{\sqrt{4-x^2}} \, dx$

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2. 解き方の手順**

(1) $\int x \tan^{-1} x \, dx$ の解き方 (部分積分)

部分積分法を使います。$u = \tan^{-1} x$ と $dv = x \, dx$ と置くと、

$du = \frac{1}{1+x^2} \, dx$ と $v = \frac{x^2}{2}$ となります。

部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ を適用すると、

$\int x \tan^{-1} x \, dx = \frac{x^2}{2} \tan^{-1} x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{1+x^2} \, dx$

$\int \frac{x^2}{2(1+x^2)} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{x^2 + 1 - 1}{x^2 + 1} \, dx = \frac{1}{2} \int \left( 1 - \frac{1}{x^2 + 1} \right) \, dx$

$= \frac{1}{2} (x - \tan^{-1} x) + C$

したがって、

$\int x \tan^{-1} x \, dx = \frac{x^2}{2} \tan^{-1} x - \frac{1}{2} (x - \tan^{-1} x) + C$

$= \frac{x^2}{2} \tan^{-1} x - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \tan^{-1} x + C$

$= \frac{x^2+1}{2} \tan^{-1} x - \frac{x}{2} + C$

(10) $\int \frac{x}{\sqrt{4-x^2}} \, dx$ の解き方 (置換積分)

置換積分を使います。$u = 4 - x^2$ と置くと、

$du = -2x \, dx$ となり、$x \, dx = -\frac{1}{2} du$ となります。

$\int \frac{x}{\sqrt{4-x^2}} \, dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \left(-\frac{1}{2}\right) du$

$= -\frac{1}{2} \int u^{-1/2} \, du = -\frac{1}{2} \cdot \frac{u^{1/2}}{1/2} + C$

$= - \sqrt{u} + C = - \sqrt{4-x^2} + C$

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3. 最終的な答え**

(1) $\int x \tan^{-1} x \, dx = \frac{x^2+1}{2} \tan^{-1} x - \frac{x}{2} + C$

(10) $\int \frac{x}{\sqrt{4-x^2}} \, dx = - \sqrt{4-x^2} + C$