2つの曲線 $C_1: y = xe^{-x+3}$ と $C_2: y = x$ で囲まれた図形の面積を求める。

1. 問題の内容

2つの曲線 $C_1: y = xe^{-x+3}$ と $C_2: y = x$ で囲まれた図形の面積を求める。

2. 解き方の手順

まず、$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求める。

$xe^{-x+3} = x$

$xe^{-x+3} - x = 0$

$x(e^{-x+3} - 1) = 0$

よって、$x=0$ または $e^{-x+3} = 1$

$e^{-x+3} = 1$ のとき、$-x+3 = 0$ より $x=3$

したがって、$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標は、$x=0$ と $x=3$ である。

次に、区間$[0, 3]$において、$xe^{-x+3} \geq x$ であることを確認する。

例えば、$x=1$のとき、$1 \cdot e^{-1+3} = e^2 \approx 7.389 > 1$ となり、$xe^{-x+3} > x$ である。

したがって、区間$[0, 3]$において、$y=xe^{-x+3}$ が $y=x$ より上にある。

求める面積$S$は、

$S = \int_0^3 (xe^{-x+3} - x) dx$

$S = \int_0^3 xe^{-x+3} dx - \int_0^3 x dx$

$S = e^3 \int_0^3 xe^{-x} dx - \int_0^3 x dx$

部分積分を行う。$\int xe^{-x} dx$

$u = x$, $dv = e^{-x} dx$ とすると、

$du = dx$, $v = -e^{-x}$

$\int xe^{-x} dx = -xe^{-x} - \int -e^{-x} dx = -xe^{-x} - e^{-x}$

したがって、

$\int_0^3 xe^{-x} dx = [-xe^{-x} - e^{-x}]_0^3 = (-3e^{-3} - e^{-3}) - (0 - e^0) = -4e^{-3} + 1$

$\int_0^3 x dx = [\frac{1}{2} x^2]_0^3 = \frac{1}{2} (3^2 - 0^2) = \frac{9}{2}$

$S = e^3 (-4e^{-3} + 1) - \frac{9}{2} = -4 + e^3 - \frac{9}{2} = e^3 - \frac{17}{2}$

3. 最終的な答え

$e^3 - \frac{17}{2}$