定積分 $\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} \, dx$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} \, dx$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

この積分は、三角関数を用いた置換積分で解くことができます。

ステップ1: 置換

$x = \sin\theta$ と置換します。このとき、$dx = \cos\theta \, d\theta$ となります。

積分範囲も変更する必要があります。

$x=0$ のとき、$\sin\theta = 0$ より $\theta = 0$ です。

$x=1$ のとき、$\sin\theta = 1$ より $\theta = \frac{\pi}{2}$ です。

ステップ2: 積分変数の変換と簡略化

$\sqrt{1-x^2}$ を $\theta$ で表すと、$\sqrt{1 - \sin^2\theta} = \sqrt{\cos^2\theta} = \cos\theta$ となります。

したがって、積分は以下のようになります。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta \cdot \cos\theta \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta \, d\theta$

ステップ3: $\cos^2\theta$ の積分

$\cos^2\theta$ の積分は、倍角の公式 $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ を用いて計算します。

$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ より、積分は

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \, d\theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2\theta) \, d\theta$

$= \frac{1}{2} \left[ \theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

ステップ4: 定積分を計算する

$\frac{1}{2} \left[ \left(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \sin \pi\right) - \left(0 + \frac{1}{2} \sin 0\right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{\pi}{2} + 0 - 0 - 0 \right] = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4}$