関数 $y = (\log_2 \frac{4}{x})(\log_2 x - 1)$ について、$\frac{1}{2} \le x \le 4$ の範囲で、$t = \log_2 x$ とおいたときの $y$ の式と、$t$ の範囲、$y$ の最大値と、そのときの $x$ の値、および $y$ の最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = (\log_2 \frac{4}{x})(\log_2 x - 1)$ について、$\frac{1}{2} \le x \le 4$ の範囲で、$t = \log_2 x$ とおいたときの $y$ の式と、$t$ の範囲、$y$ の最大値と、そのときの $x$ の値、および $y$ の最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $y$ を $t$ の式で表す。

$\log_2 \frac{4}{x} = \log_2 4 - \log_2 x = 2 - t$

したがって、

$y = (2 - t)(t - 1) = -t^2 + 3t - 2$

(2) $t$ の範囲を求める。

$\frac{1}{2} \le x \le 4$ より、

$\log_2 \frac{1}{2} \le \log_2 x \le \log_2 4$

$-1 \le t \le 2$

(3) $y$ の最大値を求める。

$y = -t^2 + 3t - 2 = -(t - \frac{3}{2})^2 + \frac{1}{4}$

$t = \frac{3}{2}$ のとき、最大値 $\frac{1}{4}$ をとる。

(4) 最大値をとるときの $x$ の値を求める。

$t = \log_2 x = \frac{3}{2}$ より、

$x = 2^{\frac{3}{2}} = 2 \sqrt{2}$

(5) $y$ の最小値を求める。

$y = -t^2 + 3t - 2$ は上に凸な放物線で、$t = -1$ または $t = 2$ で最小値をとる。

$t = -1$ のとき、$y = -(-1)^2 + 3(-1) - 2 = -1 - 3 - 2 = -6$

$t = 2$ のとき、$y = -(2)^2 + 3(2) - 2 = -4 + 6 - 2 = 0$

したがって、最小値は $-6$ である。

(6) 最小値をとるときの $x$ の値を求める。

$t = \log_2 x = -1$ より、$x = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

ア: -1

イ: 3

ウエ: -1

オ: 2

カ: 2

キ: 2

ク: 1

ケ: 4

コ: 1

サ: 2

シス: -6