$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲において、$\sin\frac{2}{3}\theta = \frac{1}{4}$ のとき、$\cos 2\theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲において、$\sin\frac{2}{3}\theta = \frac{1}{4}$ のとき、$\cos 2\theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$という三角関数の基本的な恒等式を利用します。

ここで、$x = \frac{2}{3}\theta$と置くと、$\sin \frac{2}{3}\theta = \frac{1}{4}$ なので、

$\sin^2 \frac{2}{3}\theta + \cos^2 \frac{2}{3}\theta = 1$

$\left(\frac{1}{4}\right)^2 + \cos^2 \frac{2}{3}\theta = 1$

$\frac{1}{16} + \cos^2 \frac{2}{3}\theta = 1$

$\cos^2 \frac{2}{3}\theta = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$\cos \frac{2}{3}\theta = \pm \sqrt{\frac{15}{16}} = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}$

次に、$\cos 2\theta$ を $\cos$ の半角の公式を使って表します。

$\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$

$\theta = \frac{3}{2} (\frac{2}{3}\theta)$であるから、$2\theta = 2 (\frac{3}{2} (\frac{2}{3}\theta))=3(\frac{2}{3}\theta)$

$\cos 2\theta = \cos(3(\frac{2}{3}\theta))$

$\cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x$　を利用します。$x=\frac{2}{3}\theta$とおくと

$\cos 2\theta = 4 \cos^3 (\frac{2}{3}\theta) - 3 \cos (\frac{2}{3}\theta)$

$\cos \frac{2}{3}\theta = \frac{\sqrt{15}}{4}$の場合:

$\cos 2\theta = 4 \left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^3 - 3 \left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right) = 4 \cdot \frac{15\sqrt{15}}{64} - \frac{3\sqrt{15}}{4} = \frac{15\sqrt{15}}{16} - \frac{12\sqrt{15}}{16} = \frac{3\sqrt{15}}{16}$

$\cos \frac{2}{3}\theta = -\frac{\sqrt{15}}{4}$の場合:

$\cos 2\theta = 4 \left(-\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^3 - 3 \left(-\frac{\sqrt{15}}{4}\right) = 4 \cdot \frac{-15\sqrt{15}}{64} + \frac{3\sqrt{15}}{4} = -\frac{15\sqrt{15}}{16} + \frac{12\sqrt{15}}{16} = -\frac{3\sqrt{15}}{16}$

3. 最終的な答え

$\cos 2\theta = \pm \frac{3\sqrt{15}}{16}$