周期 $2\pi$ の周期関数 $f(x)$ が与えられています。 $f(x) = \begin{cases} x^2 - \pi x & (0 \le x \le \pi) \\ ? & (-\pi < x < 0) \end{cases}$ $f(x)$ が奇関数であるときの $f(x)$ を求め、そのときの $f(x)$ のフーリエ級数展開を求めよ。

1. 問題の内容

周期 $2\pi$ の周期関数 $f(x)$ が与えられています。

$f(x) = \begin{cases}

x^2 - \pi x & (0 \le x \le \pi) \\

? & (-\pi < x < 0)

\end{cases}$

$f(x)$ が奇関数であるときの $f(x)$ を求め、そのときの $f(x)$ のフーリエ級数展開を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ が奇関数である条件を満たすように $f(x)$ を決定します。

奇関数とは、$f(-x) = -f(x)$ を満たす関数です。

$-\pi < x < 0$ において、$f(x)$ を定義するために、$0 < -x < \pi$ となる $-x$ を考えます。

このとき、$f(-x) = (-x)^2 - \pi(-x) = x^2 + \pi x$ です。

したがって、$f(x)$ が奇関数であるためには、$f(x) = -f(-x)$ となる必要があるので、$f(x) = -(x^2 + \pi x) = -x^2 - \pi x$ となります。

したがって、

$f(x) = \begin{cases}

x^2 - \pi x & (0 \le x \le \pi) \\

-x^2 - \pi x & (-\pi < x < 0)

\end{cases}$

次に、$f(x)$ のフーリエ級数展開を求めます。

$f(x)$ が奇関数なので、フーリエ級数はサイン項のみを持ちます。

すなわち、$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(nx)$ となります。

$b_n$ は次のように計算されます。

$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx$

$f(x)$ が奇関数であり、$\sin(nx)$ も奇関数なので、$f(x)\sin(nx)$ は偶関数です。

したがって、$b_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} (x^2 - \pi x) \sin(nx) dx$

部分積分を2回行うことで、$b_n$ を計算します。

$\int x^2 \sin(nx) dx = -\frac{x^2}{n} \cos(nx) + \frac{2x}{n^2} \sin(nx) + \frac{2}{n^3} \cos(nx) + C$

$\int x \sin(nx) dx = -\frac{x}{n} \cos(nx) + \frac{1}{n^2} \sin(nx) + C$

したがって、

$b_n = \frac{2}{\pi} \left[ (-\frac{x^2}{n} \cos(nx) + \frac{2x}{n^2} \sin(nx) + \frac{2}{n^3} \cos(nx)) - \pi (-\frac{x}{n} \cos(nx) + \frac{1}{n^2} \sin(nx)) \right]_0^\pi$

$b_n = \frac{2}{\pi} \left[ (-\frac{\pi^2}{n} \cos(n\pi) + 0 + \frac{2}{n^3} \cos(n\pi)) - \pi (-\frac{\pi}{n} \cos(n\pi) + 0) - (0 + 0 + \frac{2}{n^3}) + 0 \right]$

$b_n = \frac{2}{\pi} \left[ -\frac{\pi^2}{n} (-1)^n + \frac{2}{n^3} (-1)^n + \frac{\pi^2}{n} (-1)^n - \frac{2}{n^3} \right]$

$b_n = \frac{2}{\pi} \left[ \frac{2}{n^3} (-1)^n - \frac{2}{n^3} \right] = \frac{4}{\pi n^3} ((-1)^n - 1)$

$n$ が偶数のとき、$b_n = 0$

$n$ が奇数のとき、$b_n = \frac{4}{\pi n^3} (-2) = -\frac{8}{\pi n^3}$

したがって、$f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} -\frac{8}{\pi (2k+1)^3} \sin((2k+1)x)$

3. 最終的な答え

$f(x) = \begin{cases}

x^2 - \pi x & (0 \le x \le \pi) \\

-x^2 - \pi x & (-\pi < x < 0)

\end{cases}$

$f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} -\frac{8}{\pi (2k+1)^3} \sin((2k+1)x)$