媒介変数 $\theta$ で表された関数 $x = \cos^3\theta$ $y = \sin^3\theta$ について、以下の問いに答える。 (1) $\frac{dy}{dx}$, $\frac{d^2y}{dx^2}$ を $\theta$ の関数として求めよ。 (2) この媒介変数表示により描かれる曲線(アステロイド曲線)の点$(\frac{1}{2\sqrt{2}}, \frac{1}{2\sqrt{2}})$ における接線と法線の方程式を求めよ。 (3) このアステロイド曲線に点$(\cos^3\theta, \sin^3\theta)$ で接する接線が x軸と y軸で切り取られる接線の部分の長さを求めよ。 (4) アステロイド曲線の $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ の部分の長さを求めよ。 (5) アステロイド曲線で囲まれる部分の面積を求めよ。

1. 問題の内容

媒介変数 $\theta$ で表された関数

$x = \cos^3\theta$

$y = \sin^3\theta$

について、以下の問いに答える。

(1) $\frac{dy}{dx}$, $\frac{d^2y}{dx^2}$ を $\theta$ の関数として求めよ。

(2) この媒介変数表示により描かれる曲線(アステロイド曲線)の点$(\frac{1}{2\sqrt{2}}, \frac{1}{2\sqrt{2}})$ における接線と法線の方程式を求めよ。

(3) このアステロイド曲線に点$(\cos^3\theta, \sin^3\theta)$ で接する接線が x軸と y軸で切り取られる接線の部分の長さを求めよ。

(4) アステロイド曲線の $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ の部分の長さを求めよ。

(5) アステロイド曲線で囲まれる部分の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{dy}{dx}$ を求める。

$\frac{dy}{d\theta} = 3\sin^2\theta\cos\theta$

$\frac{dx}{d\theta} = -3\cos^2\theta\sin\theta$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{3\sin^2\theta\cos\theta}{-3\cos^2\theta\sin\theta} = -\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = -\tan\theta$

次に $\frac{d^2y}{dx^2}$ を求める。

$\frac{d}{d\theta}(\frac{dy}{dx}) = \frac{d}{d\theta}(-\tan\theta) = -\frac{1}{\cos^2\theta}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d/d\theta(dy/dx)}{dx/d\theta} = \frac{-\frac{1}{\cos^2\theta}}{-3\cos^2\theta\sin\theta} = \frac{1}{3\cos^4\theta\sin\theta}$

(2) 点$(\frac{1}{2\sqrt{2}}, \frac{1}{2\sqrt{2}})$に対応する$\theta$を求める。

$\cos^3\theta = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{3/2}}$ より $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin^3\theta = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{3/2}}$ より $\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$

したがって $\theta = \frac{\pi}{4}$

$\theta = \frac{\pi}{4}$ のとき、

$\frac{dy}{dx} = -\tan\frac{\pi}{4} = -1$

接線の方程式は、

$y - \frac{1}{2\sqrt{2}} = -1(x - \frac{1}{2\sqrt{2}})$

$y = -x + \frac{1}{\sqrt{2}}$

法線の方程式は、

$y - \frac{1}{2\sqrt{2}} = 1(x - \frac{1}{2\sqrt{2}})$

$y = x$

(3) 点$(\cos^3\theta, \sin^3\theta)$における接線の方程式は、

$y - \sin^3\theta = -\tan\theta(x - \cos^3\theta)$

$y = -\frac{\sin\theta}{\cos\theta}x + \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\cos^3\theta + \sin^3\theta$

$y = -\frac{\sin\theta}{\cos\theta}x + \sin\theta\cos^2\theta + \sin^3\theta$

$y = -\frac{\sin\theta}{\cos\theta}x + \sin\theta(\cos^2\theta + \sin^2\theta)$

$y = -\frac{\sin\theta}{\cos\theta}x + \sin\theta$

x軸との交点は、$y = 0$ より、

$0 = -\frac{\sin\theta}{\cos\theta}x + \sin\theta$

$\frac{\sin\theta}{\cos\theta}x = \sin\theta$

$x = \cos\theta$

y軸との交点は、$x = 0$ より、

$y = \sin\theta$

切り取られる部分の長さは、

$\sqrt{(\cos\theta - 0)^2 + (0 - \sin\theta)^2} = \sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta} = \sqrt{1} = 1$

(4) アステロイド曲線の $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ の部分の長さを求める。

$\frac{dx}{d\theta} = -3\cos^2\theta\sin\theta$

$\frac{dy}{d\theta} = 3\sin^2\theta\cos\theta$

$\sqrt{(\frac{dx}{d\theta})^2 + (\frac{dy}{d\theta})^2} = \sqrt{(-3\cos^2\theta\sin\theta)^2 + (3\sin^2\theta\cos\theta)^2} = \sqrt{9\cos^4\theta\sin^2\theta + 9\sin^4\theta\cos^2\theta} = \sqrt{9\cos^2\theta\sin^2\theta(\cos^2\theta + \sin^2\theta)} = \sqrt{9\cos^2\theta\sin^2\theta} = 3|\cos\theta\sin\theta|$

$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ のとき、$\cos\theta \geq 0$, $\sin\theta \geq 0$ なので

$3\cos\theta\sin\theta$

$L = \int_0^{\pi/2} 3\cos\theta\sin\theta d\theta = 3\int_0^{\pi/2} \frac{1}{2}\sin(2\theta) d\theta = \frac{3}{2} [-\frac{1}{2}\cos(2\theta)]_0^{\pi/2} = \frac{3}{2} (-\frac{1}{2}(-1 - 1)) = \frac{3}{2}$

(5) アステロイド曲線で囲まれる部分の面積を求める。

アステロイド曲線は $x^{2/3} + y^{2/3} = 1$ で表される。

第一象限の面積は、

$A_1 = \int_0^1 y dx$

$x = \cos^3\theta$

$y = \sin^3\theta$

$\frac{dx}{d\theta} = -3\cos^2\theta\sin\theta$

$\theta: \frac{\pi}{2} \rightarrow 0$

$A_1 = \int_{\pi/2}^0 \sin^3\theta (-3\cos^2\theta\sin\theta) d\theta = 3 \int_0^{\pi/2} \sin^4\theta\cos^2\theta d\theta = 3 \frac{3 \cdot 1}{6 \cdot 4 \cdot 2} \frac{\pi}{2} = 3 \frac{3}{48} \frac{\pi}{2} = \frac{9\pi}{96} = \frac{3\pi}{32}$

全体の面積は $4A_1 = 4\frac{3\pi}{32} = \frac{3\pi}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = -\tan\theta$, $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{3\cos^4\theta\sin\theta}$

(2) 接線: $y = -x + \frac{1}{\sqrt{2}}$, 法線: $y = x$

(3) 1

(4) $\frac{3}{2}$

(5) $\frac{3\pi}{8}$