広義積分 $\int_{1}^{\infty} xe^{-2x} dx$ を求めます。

1. 問題の内容

広義積分 $\int_{1}^{\infty} xe^{-2x} dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int xe^{-2x} dx$ を計算します。これは部分積分を用いて計算します。

部分積分の公式は $\int u dv = uv - \int v du$ です。

$u = x$ と $dv = e^{-2x} dx$ とすると、$du = dx$ と $v = -\frac{1}{2}e^{-2x}$ となります。

したがって、

$\int xe^{-2x} dx = x(-\frac{1}{2}e^{-2x}) - \int (-\frac{1}{2}e^{-2x}) dx = -\frac{1}{2}xe^{-2x} + \frac{1}{2} \int e^{-2x} dx$

$\int e^{-2x} dx = -\frac{1}{2}e^{-2x}$ なので、

$\int xe^{-2x} dx = -\frac{1}{2}xe^{-2x} + \frac{1}{2}(-\frac{1}{2}e^{-2x}) = -\frac{1}{2}xe^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x} + C$

次に、広義積分を計算します。

$\int_{1}^{\infty} xe^{-2x} dx = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} xe^{-2x} dx = \lim_{t \to \infty} [-\frac{1}{2}xe^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x}]_{1}^{t}$

$= \lim_{t \to \infty} (-\frac{1}{2}te^{-2t} - \frac{1}{4}e^{-2t}) - (-\frac{1}{2}(1)e^{-2(1)} - \frac{1}{4}e^{-2(1)})$

$= \lim_{t \to \infty} (-\frac{t}{2e^{2t}} - \frac{1}{4e^{2t}}) - (-\frac{1}{2}e^{-2} - \frac{1}{4}e^{-2})$

$\lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{2t}} = 0$ （ロピタルの定理より）

したがって、$\lim_{t \to \infty} (-\frac{t}{2e^{2t}} - \frac{1}{4e^{2t}}) = 0$

よって、

$\int_{1}^{\infty} xe^{-2x} dx = 0 - (-\frac{1}{2}e^{-2} - \frac{1}{4}e^{-2}) = \frac{1}{2}e^{-2} + \frac{1}{4}e^{-2} = \frac{3}{4}e^{-2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4}e^{-2} = \frac{3}{4e^2}$