問題は以下の2つの極限を求める問題です。 * $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x\cos x}{\sin^3 x}$ * $\lim_{x \to 0} \frac{x - \arctan x}{x - \sin x}$

1. 問題の内容

問題は以下の2つの極限を求める問題です。

* $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x\cos x}{\sin^3 x}$

* $\lim_{x \to 0} \frac{x - \arctan x}{x - \sin x}$

2. 解き方の手順

問題5:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x\cos x}{\sin^3 x}$ を求めます。

ロピタルの定理を使うことを考えます。

$\sin x - x \cos x$ の微分は $\cos x - \cos x + x \sin x = x \sin x$

$\sin^3 x$ の微分は $3 \sin^2 x \cos x$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x\cos x}{\sin^3 x} = \lim_{x \to 0} \frac{x\sin x}{3\sin^2 x \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{3\sin x \cos x}$

さらにロピタルの定理を使うと

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{3\sin x \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{3(\cos^2 x - \sin^2 x)} = \frac{1}{3(1-0)} = \frac{1}{3}$

問題6:

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \arctan x}{x - \sin x}$ を求めます。

ロピタルの定理を使うことを考えます。

$x - \arctan x$ の微分は $1 - \frac{1}{1+x^2} = \frac{x^2}{1+x^2}$

$x - \sin x$ の微分は $1 - \cos x$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \arctan x}{x - \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{1+x^2}}{1 - \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{(1+x^2)(1 - \cos x)}$

さらにロピタルの定理を使うことを考えます。

分子 $x^2$ の微分は $2x$

分母 $(1+x^2)(1 - \cos x)$ の微分は $2x(1-\cos x) + (1+x^2)\sin x = 2x-2x\cos x + \sin x + x^2 \sin x$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{(1+x^2)(1 - \cos x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{2x-2x\cos x + \sin x + x^2 \sin x}$

さらにロピタルの定理を使うことを考えます。

分子 $2x$ の微分は $2$

分母 $2x-2x\cos x + \sin x + x^2 \sin x$ の微分は $2 - 2\cos x + 2x\sin x + \cos x + 2x \sin x + x^2 \cos x = 2-\cos x + 4x \sin x + x^2 \cos x$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{2x}{2x-2x\cos x + \sin x + x^2 \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{2-\cos x + 4x \sin x + x^2 \cos x} = \frac{2}{2-1+0+0} = 2$

もしくは、$x \to 0$のとき$\sin x \sim x - x^3/6$, $\arctan x \sim x - x^3/3$ を使うと,

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \arctan x}{x - \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{x - (x - x^3/3)}{x - (x - x^3/6)} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3/3}{x^3/6} = 2$

3. 最終的な答え

問題5: $\frac{1}{3}$

問題6: $2$