関数 $y = 2x - \tan x$ ($-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$) の増減、凹凸を調べ、グラフの概形を描き、極値と変曲点を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x - \tan x$ ($-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$) の増減、凹凸を調べ、グラフの概形を描き、極値と変曲点を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) まず、導関数 $y'$ を計算します。

$y' = 2 - \frac{1}{\cos^2 x} = 2 - \sec^2 x$

(2) $y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$2 - \sec^2 x = 0$

$\sec^2 x = 2$

$\cos^2 x = \frac{1}{2}$

$\cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

$-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ の範囲で、これを満たす $x$ は $x = \pm \frac{\pi}{4}$ です。

(3) 第2次導関数 $y''$ を計算します。

$y'' = -2 \sec x (\sec x \tan x) = -2 \sec^2 x \tan x = -\frac{2 \tan x}{\cos^2 x}$

(4) $y'' = 0$ となる $x$ を求めます。

$-\frac{2 \tan x}{\cos^2 x} = 0$

$\tan x = 0$

$-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ の範囲で、これを満たす $x$ は $x = 0$ です。

(5) 増減表を作成します。

| x | -π/2 | ... | -π/4 | ... | 0 | ... | π/4 | ... | π/2 |

| --------- | ----- | ----- | ---- | --- | --- | --- | --- | ----- | ---- |

| y' | | - | 0 | + | + | + | 0 | - | |

| y'' | | - | - | - | 0 | + | + | + | |

| y | | 増加 | | 増加 | | 増加 | | 増加 | |

| | | (凹) | 極小 | 凸 | 変曲点 | 凹 | 極大 | 凸 | |

(6) 極値と変曲点を求めます。

$x = -\frac{\pi}{4}$ のとき、$y = 2(-\frac{\pi}{4}) - \tan (-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\pi}{2} + 1$ (極小値)

$x = \frac{\pi}{4}$ のとき、$y = 2(\frac{\pi}{4}) - \tan (\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2} - 1$ (極大値)

$x = 0$ のとき、$y = 2(0) - \tan (0) = 0$ (変曲点)

(7) $\lim_{x \to -\frac{\pi}{2} + 0} y(x) = \infty$, $\lim_{x \to \frac{\pi}{2} - 0} y(x) = -\infty$ となるので、グラフは $x = \pm \frac{\pi}{2}$ を漸近線に持つ。

(8) グラフの概形を考慮して描画する。

3. 最終的な答え

極小値: $x = -\frac{\pi}{4}$ のとき $y = -\frac{\pi}{2} + 1$

極大値: $x = \frac{\pi}{4}$ のとき $y = \frac{\pi}{2} - 1$

変曲点: $x = 0$ のとき $y = 0$

グラフの概形は、変曲点$(0,0)$を通り、$x = -\frac{\pi}{4}$で極小値$-\frac{\pi}{2}+1$、 $x = \frac{\pi}{4}$で極大値$\frac{\pi}{2}-1$をとり、$x = \pm \frac{\pi}{2}$を漸近線とする。

$-\frac{\pi}{2} < x < 0$ では下に凸、$0 < x < \frac{\pi}{2}$ では上に凸である。