問題3と4の2つの問題があります。 問題3は、$y = \arctan x$ の $x = \sqrt{3}$ における接線の方程式を求める問題です。 問題4は、アステロイド曲線 $x = \cos^3 \theta, y = \sin^3 \theta$ ($0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$) の接線の傾きが $-\sqrt{3}$ のときの $\theta$ の値と、そのときの接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

問題3と4の2つの問題があります。

問題3は、$y = \arctan x$ の $x = \sqrt{3}$ における接線の方程式を求める問題です。

問題4は、アステロイド曲線 $x = \cos^3 \theta, y = \sin^3 \theta$ ($0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$) の接線の傾きが $-\sqrt{3}$ のときの $\theta$ の値と、そのときの接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題3：

1. $y = \arctan x$ を微分して、$y'$ を求める。

$y' = \frac{1}{1+x^2}$

2. $x = \sqrt{3}$ における $y'$ の値を求める。これが接線の傾きとなる。

$y'(\sqrt{3}) = \frac{1}{1+(\sqrt{3})^2} = \frac{1}{1+3} = \frac{1}{4}$

3. $x = \sqrt{3}$ における $y$ の値を求める。

$y(\sqrt{3}) = \arctan \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$

4. 接線の方程式は、$y = y'(\sqrt{3})(x-\sqrt{3}) + y(\sqrt{3})$ で表される。

$y = \frac{1}{4}(x - \sqrt{3}) + \frac{\pi}{3}$

問題4：

1. $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ を求める。

$\frac{dx}{d\theta} = -3\cos^2\theta \sin\theta$

$\frac{dy}{d\theta} = 3\sin^2\theta \cos\theta$

$\frac{dy}{dx} = \frac{3\sin^2\theta \cos\theta}{-3\cos^2\theta \sin\theta} = -\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = -\tan\theta$

2. $\frac{dy}{dx} = -\sqrt{3}$ となる $\theta$ を求める。

$-\tan\theta = -\sqrt{3}$

$\tan\theta = \sqrt{3}$

$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ より、$\theta = \frac{\pi}{3}$

3. $\theta = \frac{\pi}{3}$ のときの $x$ と $y$ の値を求める。

$x = \cos^3(\frac{\pi}{3}) = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

$y = \sin^3(\frac{\pi}{3}) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^3 = \frac{3\sqrt{3}}{8}$

4. 接線の方程式は、$y = -\sqrt{3}(x-x_0)+y_0$ で表される。

$y = -\sqrt{3}(x - \frac{1}{8}) + \frac{3\sqrt{3}}{8}$

$y = -\sqrt{3}x + \frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{3\sqrt{3}}{8}$

$y = -\sqrt{3}x + \frac{4\sqrt{3}}{8}$

$y = -\sqrt{3}x + \frac{\sqrt{3}}{2}$

問題文の形式に合わせて $y = -\sqrt{3}(x-x_0)$ に変形すると、$y = -\sqrt{3}(x - \frac{1}{8}-\frac{\sqrt{3}}{-\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}}{8})$ より、$x_0 = 1/2$と求まる。

3. 最終的な答え

問題3：

④: 1/4

⑤: 1/3

問題4：

⑥: 1/3

⑦: 1/2