$n$ を自然数とするとき、$y = e^{-x}$ の第 $n$ 次導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

$n$ を自然数とするとき、$y = e^{-x}$ の第 $n$ 次導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y$ の最初のいくつかの導関数を計算して、規則性を見つけます。

$y = e^{-x}$

$y' = \frac{d}{dx}e^{-x} = -e^{-x}$

$y'' = \frac{d^2}{dx^2}e^{-x} = \frac{d}{dx}(-e^{-x}) = e^{-x}$

$y''' = \frac{d^3}{dx^3}e^{-x} = \frac{d}{dx}(e^{-x}) = -e^{-x}$

$y'''' = \frac{d^4}{dx^4}e^{-x} = \frac{d}{dx}(-e^{-x}) = e^{-x}$

これらの導関数から、導関数の次数が奇数の場合、符号が負になり、偶数の場合は正になることがわかります。したがって、第 $n$ 次導関数は次のようになります。

$y^{(n)} = (-1)^n e^{-x}$

3. 最終的な答え

$y^{(n)} = (-1)^n e^{-x}$