$y = \cos x$ の第 $2n$ 次導関数を求める。ただし、$n$ は自然数とする。

1. 問題の内容

$y = \cos x$ の第 $2n$ 次導関数を求める。ただし、$n$ は自然数とする。

2. 解き方の手順

まず、$y = \cos x$ の導関数をいくつか計算してみる。

$y' = -\sin x$

$y'' = -\cos x$

$y''' = \sin x$

$y^{(4)} = \cos x$

ここで、$y^{(4)} = y$ であることに注目する。

したがって、4回微分するごとに元の関数に戻ることがわかる。

一般に、

$y^{(4k)} = \cos x$

$y^{(4k+1)} = -\sin x$

$y^{(4k+2)} = -\cos x$

$y^{(4k+3)} = \sin x$

ここで、$2n$ が $4k$, $4k+1$, $4k+2$, $4k+3$ のどの形になるかを考える。

$2n$ は偶数であるから、$4k+1$ や $4k+3$ の形にはならない。

したがって、$2n$ は $4k$ または $4k+2$ のいずれかの形になる。

$2n = 4k$ のとき、$n = 2k$ となる。つまり、$n$ が偶数のときである。

このとき、

$y^{(2n)} = y^{(4k)} = \cos x$

$2n = 4k+2$ のとき、$n = 2k+1$ となる。つまり、$n$ が奇数のときである。

このとき、

$y^{(2n)} = y^{(4k+2)} = -\cos x$

したがって、

$y^{(2n)} = \cos x$ （$n$ が偶数のとき）

$y^{(2n)} = -\cos x$ （$n$ が奇数のとき）

まとめて書くと、

$y^{(2n)} = (-1)^n \cos x$ となる。

3. 最終的な答え

$(-1)^n \cos x$