(1) 曲線 $x = a(t + \sin t)$, $y = a(1 - \cos t)$ ($0 \le t \le 2\pi$) と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題。ただし、$a > 0$ とする。 (2) 曲線 $y = 2x^2$ と曲線 $y = -x^2 + 3x$ で囲まれた部分を、$x$ 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積 $V$ を求める問題。 (3) $f(x) + \int_1^x \frac{f(t)}{t} dt = 4x^3 - 3x^2 + 2x - 1$ を満たす多項式 $f(x)$ を求める問題。

1. 問題の内容

(1) 曲線 $x = a(t + \sin t)$, $y = a(1 - \cos t)$ ($0 \le t \le 2\pi$) と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題。ただし、$a > 0$ とする。

(2) 曲線 $y = 2x^2$ と曲線 $y = -x^2 + 3x$ で囲まれた部分を、$x$ 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積 $V$ を求める問題。

(3) $f(x) + \int_1^x \frac{f(t)}{t} dt = 4x^3 - 3x^2 + 2x - 1$ を満たす多項式 $f(x)$ を求める問題。

2. 解き方の手順

(1)

$S = \int y \, dx = \int_0^{2\pi} a(1 - \cos t) \frac{dx}{dt} dt$

$\frac{dx}{dt} = a(1 + \cos t)$ なので、

$S = \int_0^{2\pi} a(1 - \cos t) a(1 + \cos t) dt = a^2 \int_0^{2\pi} (1 - \cos^2 t) dt = a^2 \int_0^{2\pi} \sin^2 t dt$

$\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}$ より、

$S = a^2 \int_0^{2\pi} \frac{1 - \cos 2t}{2} dt = a^2 \left[ \frac{t}{2} - \frac{\sin 2t}{4} \right]_0^{2\pi} = a^2 \left( \frac{2\pi}{2} - 0 \right) = \pi a^2$

ただし、$x$ は $t=0$ から $t=2\pi$ まで増加するので、$x$ 軸との位置関係を考慮する必要はない。$x=0$ から $x=2\pi a$まで積分すればよい。

(2)

まず、2つの曲線の交点を求める。

$2x^2 = -x^2 + 3x$ より $3x^2 - 3x = 0$ なので $3x(x - 1) = 0$。

したがって、$x = 0, 1$ で交わる。

$V = \pi \int_0^1 ((-x^2 + 3x)^2 - (2x^2)^2) dx = \pi \int_0^1 (x^4 - 6x^3 + 9x^2 - 4x^4) dx = \pi \int_0^1 (-3x^4 - 6x^3 + 9x^2) dx$

$V = \pi \left[ -\frac{3}{5} x^5 - \frac{6}{4} x^4 + \frac{9}{3} x^3 \right]_0^1 = \pi \left( -\frac{3}{5} - \frac{3}{2} + 3 \right) = \pi \left( \frac{-6 - 15 + 30}{10} \right) = \frac{9\pi}{10}$

(3)

$f(x) + \int_1^x \frac{f(t)}{t} dt = 4x^3 - 3x^2 + 2x - 1$

両辺を $x$ で微分すると、

$f'(x) + \frac{f(x)}{x} = 12x^2 - 6x + 2$

$f(x)$ が多項式なので、$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ とおく。

このとき、$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$

$3ax^2 + 2bx + c + \frac{ax^3 + bx^2 + cx + d}{x} = 12x^2 - 6x + 2$

$3ax^2 + 2bx + c + ax^2 + bx + c + \frac{d}{x} = 12x^2 - 6x + 2$

$(4a)x^2 + (3b)x + 2c + \frac{d}{x} = 12x^2 - 6x + 2$

したがって、$d = 0$, $4a = 12$, $3b = -6$, $2c = 2$ より、

$a = 3$, $b = -2$, $c = 1$

よって、$f(x) = 3x^3 - 2x^2 + x$

元の式に代入して確かめる。

$3x^3 - 2x^2 + x + \int_1^x \frac{3t^3 - 2t^2 + t}{t} dt = 3x^3 - 2x^2 + x + \int_1^x (3t^2 - 2t + 1) dt$

$= 3x^3 - 2x^2 + x + [t^3 - t^2 + t]_1^x = 3x^3 - 2x^2 + x + x^3 - x^2 + x - (1 - 1 + 1) = 4x^3 - 3x^2 + 2x - 1$

確かに成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $S = \pi a^2$

(2) $V = \frac{9\pi}{10}$

(3) $f(x) = 3x^3 - 2x^2 + x$