与えられた無限級数の和を求めよ。 $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n + 2^n}{3^n}$$

はい、承知いたしました。与えられた問題を解いて、指定された形式で回答します。

1. 問題の内容

与えられた無限級数の和を求めよ。

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n + 2^n}{3^n}$$

2. 解き方の手順

この級数は、2つの級数の和として分解できます。

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n + 2^n}{3^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{3^n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{3^n}$$

それぞれの級数について計算します。

まず、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{3^n} = 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n}$を計算します。

ここで、$S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n}$とおきます。

$S = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \frac{4}{3^4} + \dots$

$\frac{1}{3}S = \frac{1}{3^2} + \frac{2}{3^3} + \frac{3}{3^4} + \dots$

$S - \frac{1}{3}S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \frac{1}{3^4} + \dots$

$\frac{2}{3}S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n} = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}$

$S = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$

したがって、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{3^n} = 2S = 2 \times \frac{3}{4} = \frac{3}{2}$となります。

次に、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{3^n} = \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{2}{3})^n$を計算します。

これは初項$\frac{2}{3}$、公比$\frac{2}{3}$の等比級数なので、

$\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{2}{3})^n = \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}} = 2$

したがって、与えられた級数は

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n + 2^n}{3^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{3^n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{3^n} = \frac{3}{2} + 2 = \frac{3}{2} + \frac{4}{2} = \frac{7}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{7}{2}$