関数 $y = \sin^{-1}\sqrt{2x}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin^{-1}\sqrt{2x}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分法を使います。

$y = \sin^{-1}(u)$ かつ $u = \sqrt{2x}$ と置きます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du} (\sin^{-1}(u)) = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}$

$u = \sqrt{2x} = (2x)^{\frac{1}{2}}$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (\sqrt{2x}) = \frac{1}{2}(2x)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2x}}$

$u = \sqrt{2x}$ を代入すると

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\sqrt{2x})^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2x}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 2x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2x}} = \frac{1}{\sqrt{2x(1 - 2x)}} = \frac{1}{\sqrt{2x - 4x^2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{2x - 4x^2}}$