定積分 $\int_{-1}^{1} (x-1)(x+1)^5 dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{1} (x-1)(x+1)^5 dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$t = x+1$ と置換します。すると、$x = t-1$、$dx = dt$ となり、積分範囲は $x=-1$ のとき $t=0$、$x=1$ のとき $t=2$ となります。

したがって、積分は

$\int_0^2 (t-1-1) t^5 dt = \int_0^2 (t-2) t^5 dt = \int_0^2 (t^6 - 2t^5) dt$

となります。

次に、この積分を計算します。

$\int_0^2 (t^6 - 2t^5) dt = [\frac{t^7}{7} - \frac{2t^6}{6}]_0^2 = [\frac{t^7}{7} - \frac{t^6}{3}]_0^2$

$= (\frac{2^7}{7} - \frac{2^6}{3}) - (\frac{0^7}{7} - \frac{0^6}{3}) = \frac{128}{7} - \frac{64}{3} = \frac{128 \cdot 3 - 64 \cdot 7}{21} = \frac{384 - 448}{21} = \frac{-64}{21}$

3. 最終的な答え

$\int_{-1}^{1} (x-1)(x+1)^5 dx = -\frac{64}{21}$