関数 $y = x^2 \cos x$ の $n$ 階導関数 $y^{(n)}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 \cos x$ の $n$ 階導関数 $y^{(n)}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

ライプニッツの公式を利用します。ライプニッツの公式とは、$n$階微分に関して

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(n-k)}v^{(k)}$

で与えられる公式です。

ここでは、$u = x^2$ , $v = \cos x$ とおいて、$n$階微分を計算します。

まず、$u$ の微分を計算します。

$u = x^2$

$u' = 2x$

$u'' = 2$

$u^{(k)} = 0$ for $k \geq 3$

次に $v = \cos x$ の微分を計算します。

$v' = -\sin x = \cos(x+\frac{\pi}{2})$

$v'' = -\cos x = \cos(x+2\frac{\pi}{2})$

$v''' = \sin x = \cos(x+3\frac{\pi}{2})$

一般に、$v^{(k)} = \cos(x+k\frac{\pi}{2})$

したがって、$u$ と $v$ の導関数をライプニッツの公式に代入すると、

$y^{(n)} = (x^2 \cos x)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (x^2)^{(n-k)} (\cos x)^{(k)}$

ここで、$k > n-0, n-1, n-2$ ならば$(x^2)^{(n-k)} = 0$ であるので、

$n-k \geq 0, n-k \geq 1, n-k \geq 2$ でなければならない。

より正確には、$n-k = 0$ or $n-k = 1$ or $n-k = 2$ のときのみ非ゼロの項が存在するので、

$k = n, k=n-1, k=n-2$ のときのみ非ゼロ。

したがって、

$y^{(n)} = \binom{n}{0} x^2 \cos(x + n\frac{\pi}{2}) + \binom{n}{1} 2x \cos(x+(n-1)\frac{\pi}{2}) + \binom{n}{2} 2 \cos(x+(n-2)\frac{\pi}{2})$

$= x^2 \cos(x + n\frac{\pi}{2}) + 2nx \cos(x+(n-1)\frac{\pi}{2}) + n(n-1) \cos(x+(n-2)\frac{\pi}{2})$

3. 最終的な答え

$y^{(n)} = x^2 \cos(x + n\frac{\pi}{2}) + 2nx \cos(x+(n-1)\frac{\pi}{2}) + n(n-1) \cos(x+(n-2)\frac{\pi}{2})$