関数 $y = x^2 \log x$ の第 $n$ 次導関数を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 \log x$ の第 $n$ 次導関数を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^2 \log x$ の最初のいくつかの導関数を計算し、規則性を見つけ出す。

ここで、$\log$ は自然対数とする。

$y = x^2 \log x$

1階導関数:

$y' = \frac{d}{dx} (x^2 \log x) = 2x \log x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \log x + x = x(2 \log x + 1)$

2階導関数:

$y'' = \frac{d}{dx} (2x \log x + x) = 2 \log x + 2x \cdot \frac{1}{x} + 1 = 2 \log x + 2 + 1 = 2 \log x + 3$

3階導関数:

$y''' = \frac{d}{dx} (2 \log x + 3) = \frac{2}{x}$

4階導関数:

$y^{(4)} = \frac{d}{dx} (\frac{2}{x}) = -\frac{2}{x^2}$

5階導関数:

$y^{(5)} = \frac{d}{dx} (-\frac{2}{x^2}) = \frac{4}{x^3}$

以下同様に計算すると、 $n \geq 3$ に対して

$y^{(n)} = \frac{d^{n-3}}{dx^{n-3}} \left( \frac{2}{x} \right) = 2 \frac{d^{n-3}}{dx^{n-3}} (x^{-1})$

ここで、一般に $\frac{d^k}{dx^k} (x^{-1}) = (-1)^k (k!) x^{-k-1}$ なので、

$y^{(n)} = 2 (-1)^{n-3} (n-3)! x^{-(n-3)-1} = 2 (-1)^{n-3} (n-3)! x^{-(n-2)}$

$y^{(n)} = 2 (-1)^{n-3} \frac{(n-3)!}{x^{n-2}}$

したがって、$n \geq 3$ に対して、$y^{(n)} = 2 (-1)^{n-3} \frac{(n-3)!}{x^{n-2}}$.

$n = 1$ のとき、$y' = x(2 \log x + 1)$.

$n = 2$ のとき、$y'' = 2 \log x + 3$.

3. 最終的な答え

$n=1$ のとき、$y' = x(2\log x + 1)$

$n=2$ のとき、$y'' = 2\log x + 3$

$n \geq 3$ のとき、$y^{(n)} = 2(-1)^{n-3} \frac{(n-3)!}{x^{n-2}}$