与えられた関数 $z = f(x, y)$ に対して、$x = r \cos\theta$, $y = r \sin\theta$ という変数変換を行ったとき、次の関係式が成り立つことを示す問題です。 $z_{xx} + z_{yy} = z_{rr} + \frac{1}{r} z_r + \frac{1}{r^2} z_{\theta\theta}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $z = f(x, y)$ に対して、$x = r \cos\theta$, $y = r \sin\theta$ という変数変換を行ったとき、次の関係式が成り立つことを示す問題です。

$z_{xx} + z_{yy} = z_{rr} + \frac{1}{r} z_r + \frac{1}{r^2} z_{\theta\theta}$

2. 解き方の手順

偏微分の連鎖律を用いて、$z_x$, $z_y$, $z_{xx}$, $z_{yy}$ を求め、それらを $z_{rr} + \frac{1}{r} z_r + \frac{1}{r^2} z_{\theta\theta}$ に代入することで、左辺と右辺が等しくなることを示します。

まず、$z_r$ と $z_\theta$ を求めます。

$z_r = z_x \frac{\partial x}{\partial r} + z_y \frac{\partial y}{\partial r} = z_x \cos\theta + z_y \sin\theta$

$z_\theta = z_x \frac{\partial x}{\partial \theta} + z_y \frac{\partial y}{\partial \theta} = z_x (-r\sin\theta) + z_y (r\cos\theta)$

次に、$z_{rr}$ を求めます。

$z_{rr} = \frac{\partial}{\partial r} (z_r) = \frac{\partial}{\partial r} (z_x \cos\theta + z_y \sin\theta) = (z_{xx} \cos\theta + z_{yx} \sin\theta) \cos\theta + (z_{xy} \cos\theta + z_{yy} \sin\theta) \sin\theta = z_{xx} \cos^2\theta + 2z_{xy} \cos\theta \sin\theta + z_{yy} \sin^2\theta$

次に、$z_{\theta\theta}$ を求めます。

$z_{\theta\theta} = \frac{\partial}{\partial \theta} (z_\theta) = \frac{\partial}{\partial \theta} (z_x (-r\sin\theta) + z_y (r\cos\theta)) = (z_{xx}(-r\sin\theta) + z_{yx}(r\cos\theta))(-r\sin\theta) + z_x(-r\cos\theta) + (z_{xy}(-r\sin\theta) + z_{yy}(r\cos\theta))(r\cos\theta) + z_y(-r\sin\theta) = z_{xx} r^2 \sin^2\theta - 2z_{xy} r^2 \sin\theta \cos\theta + z_{yy} r^2 \cos^2\theta - r z_x \cos\theta - r z_y \sin\theta$

したがって、

$z_{rr} + \frac{1}{r} z_r + \frac{1}{r^2} z_{\theta\theta} = z_{xx} \cos^2\theta + 2z_{xy} \cos\theta \sin\theta + z_{yy} \sin^2\theta + \frac{1}{r} (z_x \cos\theta + z_y \sin\theta) + \frac{1}{r^2} (z_{xx} r^2 \sin^2\theta - 2z_{xy} r^2 \sin\theta \cos\theta + z_{yy} r^2 \cos^2\theta - r z_x \cos\theta - r z_y \sin\theta) = z_{xx} (\cos^2\theta + \sin^2\theta) + z_{yy} (\sin^2\theta + \cos^2\theta) + 2z_{xy} (\cos\theta \sin\theta - \cos\theta \sin\theta) + \frac{1}{r} (z_x \cos\theta + z_y \sin\theta) - \frac{1}{r} (z_x \cos\theta + z_y \sin\theta) = z_{xx} + z_{yy}$

3. 最終的な答え

$z_{xx} + z_{yy} = z_{rr} + \frac{1}{r} z_r + \frac{1}{r^2} z_{\theta\theta}$