関数 $y = (2x)^x$ の導関数 $dy/dx$ を求めよ。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

関数 $y = (2x)^x$ の導関数 $dy/dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この関数は $y = f(x)^{g(x)}$ の形なので、対数微分法を用います。

ステップ1: 両辺の自然対数をとる。

$\ln y = \ln (2x)^x = x \ln (2x)$

ステップ2: 両辺を $x$ で微分する。

左辺は $y$ の関数なので、合成関数の微分法を用いる。

$\frac{d}{dx} (\ln y) = \frac{1}{y} \frac{dy}{dx}$

右辺は積の微分法を用いる。

$\frac{d}{dx} (x \ln(2x)) = \frac{d}{dx}(x) \ln(2x) + x \frac{d}{dx}(\ln(2x)) = 1 \cdot \ln(2x) + x \cdot \frac{1}{2x} \cdot 2 = \ln(2x) + 1$

従って、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln(2x) + 1$

ステップ3: $\frac{dy}{dx}$ について解く。

$\frac{dy}{dx} = y (\ln(2x) + 1)$

$y = (2x)^x$ を代入して、

$\frac{dy}{dx} = (2x)^x (\ln(2x) + 1)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = (2x)^x (\ln(2x) + 1)$