以下の極限を計算します。 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{1 - \cos 2x}$

1. 問題の内容

以下の極限を計算します。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{1 - \cos 2x}$

2. 解き方の手順

この極限は、分子も分母も$x \to 0$で0に近づく不定形（$\frac{0}{0}$形）なので、ロピタルの定理を適用します。

1回目のロピタルの定理の適用：

分子を微分すると $e^x - 1$、分母を微分すると $2\sin 2x$ となります。よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2\sin 2x}$

これもまた $\frac{0}{0}$ 形なので、再度ロピタルの定理を適用します。

2回目のロピタルの定理の適用：

分子を微分すると $e^x$、分母を微分すると $4\cos 2x$ となります。よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{4\cos 2x}$

$x \to 0$ のとき、$e^x \to e^0 = 1$ であり、$\cos 2x \to \cos 0 = 1$ であるから、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{4\cos 2x} = \frac{1}{4 \cdot 1} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}$