関数 $y = xe^x$ の3次導関数 $y^{(3)}$ を求める問題です。

解析学微分導関数積の微分法指数関数

2025/7/30

1. 問題の内容

関数

y = xe^x

の3次導関数

y^{(3)}

を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、

y

を1回微分します。積の微分法を用います。

y' = (x)'e^x + x(e^x)' = e^x + xe^x = (x+1)e^x

次に、

y'

をもう1回微分します。再び積の微分法を用います。

y'' = (x+1)'e^x + (x+1)(e^x)' = e^x + (x+1)e^x = (x+2)e^x

最後に、

y''

をもう1回微分します。再び積の微分法を用います。

y^{(3)} = (x+2)'e^x + (x+2)(e^x)' = e^x + (x+2)e^x = (x+3)e^x

3. 最終的な答え

y^{(3)} = (x+3)e^x

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