与えられた級数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)^n}{n!} x^n$ の収束半径を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた級数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)^n}{n!} x^n$ の収束半径を求めよ。

2. 解き方の手順

収束半径 $R$ を求めるには、比の判定法を用いる。

係数を $a_n = \frac{(2n)^n}{n!}$ とすると、

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\frac{1}{R} = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|

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である。

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\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left| \frac{\frac{(2(n+1))^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{(2n)^n}{n!}} \right| = \frac{(2n+2)^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{(2n)^n} = \frac{(2n+2)^{n+1}}{(n+1)(2n)^n} = \frac{(2n+2)^n \cdot (2n+2)}{(n+1)(2n)^n}

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= \frac{2n+2}{n+1} \cdot \left( \frac{2n+2}{2n} \right)^n = 2 \cdot \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n

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したがって、

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\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} 2 \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = 2e

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よって、$\frac{1}{R} = 2e$ となるので、$R = \frac{1}{2e}$。

3. 最終的な答え

収束半径は $\frac{1}{2e}$ である。