次の極限を求めよ。 $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2n^2 - k^2}}$

1. 問題の内容

次の極限を求めよ。

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2n^2 - k^2}}$

2. 解き方の手順

区分求積法を用いて、この極限を計算します。

まず、与えられた式を次のように変形します。

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2n^2 - k^2}} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^2(2 - (k/n)^2)}} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n\sqrt{2 - (k/n)^2}}$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2 - (k/n)^2}}$

ここで、$x_k = k/n$ とおくと、$k$ が1から$n$まで変化するとき、$x_k$ は0から1まで変化します。したがって、上記の極限は次の定積分で表すことができます。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2 - (k/n)^2}} = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{2 - x^2}} dx$

この積分を計算するために、$x = \sqrt{2}\sin\theta$ と変数変換します。すると、$dx = \sqrt{2}\cos\theta d\theta$ となります。また、$x=0$ のとき $\theta = 0$ であり、$x=1$ のとき $\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ より $\theta = \frac{\pi}{4}$ となります。したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{2 - x^2}} dx = \int_{0}^{\pi/4} \frac{\sqrt{2}\cos\theta}{\sqrt{2 - 2\sin^2\theta}} d\theta = \int_{0}^{\pi/4} \frac{\sqrt{2}\cos\theta}{\sqrt{2(1 - \sin^2\theta)}} d\theta$

$= \int_{0}^{\pi/4} \frac{\sqrt{2}\cos\theta}{\sqrt{2}\cos\theta} d\theta = \int_{0}^{\pi/4} 1 d\theta = [\theta]_{0}^{\pi/4} = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4}$