広義積分 $\int_{1}^{\infty} xe^{-2x} dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

広義積分 $\int_{1}^{\infty} xe^{-2x} dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int xe^{-2x} dx$ を部分積分を用いて計算します。

$u = x$ と $dv = e^{-2x} dx$ とすると、$du = dx$ であり、$v = -\frac{1}{2}e^{-2x}$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ より、

$$\int xe^{-2x} dx = -\frac{1}{2}xe^{-2x} - \int -\frac{1}{2}e^{-2x} dx$$

$$= -\frac{1}{2}xe^{-2x} + \frac{1}{2} \int e^{-2x} dx$$

$$= -\frac{1}{2}xe^{-2x} + \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right) + C$$

$$= -\frac{1}{2}xe^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x} + C$$

次に、広義積分の定義に従い、積分の上限を $t$ とし、$t \to \infty$ の極限を計算します。

$$\int_{1}^{\infty} xe^{-2x} dx = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} xe^{-2x} dx$$

$$= \lim_{t \to \infty} \left[ -\frac{1}{2}xe^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x} \right]_{1}^{t}$$

$$= \lim_{t \to \infty} \left[ \left( -\frac{1}{2}te^{-2t} - \frac{1}{4}e^{-2t} \right) - \left( -\frac{1}{2}(1)e^{-2(1)} - \frac{1}{4}e^{-2(1)} \right) \right]$$

$$= \lim_{t \to \infty} \left[ -\frac{t}{2e^{2t}} - \frac{1}{4e^{2t}} + \frac{1}{2e^2} + \frac{1}{4e^2} \right]$$

ここで、$\lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{2t}} = 0$ (ロピタルの定理より) および $\lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{2t}} = 0$ であるから、

$$= 0 - 0 + \frac{1}{2e^2} + \frac{1}{4e^2}$$

$$= \frac{3}{4e^2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4e^2}$