与えられた問題は以下の通りです。 1. 級数 $\sum_{n=1}^{\infty} n (-\frac{1}{2})^n$ の和を求める。

## 微積分I 前半確認問題

1. **問題の内容**

与えられた問題は以下の通りです。

1. 級数 $\sum_{n=1}^{\infty} n (-\frac{1}{2})^n$ の和を求める。

2. 次の極限値を求める。

(1) $\lim_{n\to\infty} \frac{(2n+1)^n}{(2n)^n}$

(2) $\lim_{x\to 0} \frac{x-\sin x}{x^3}$

(3) $\lim_{x\to 0} (\cosh x)^{\frac{1}{x^2}}$

(4) $\lim_{x\to \infty} x (\frac{\pi}{2} - \tan^{-1} x)$

3. 次の関数を微分する。

(1) $\frac{7x}{(x^2+1)^2}$

(2) $\sin^{-1} x + x\sqrt{1-x^2}$

(3) $\tan^{-1}(2x+1)$

(4) $y=x^{\sin x} (x>0)$

4. $f(x) = \begin{cases} x \tan^{-1} \frac{1}{x} & (x \neq 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases}$ とする。このとき $f'_+(0)$ と $f'_-(0)$ を求める。

5. 関数 $y=(\frac{x}{e^x})^3$ の $n$ 階導関数 $y^{(n)}$ を求める。

2. **解き方の手順**

以下の手順で問題を解きます。

1. 級数の和：

級数 $\sum_{n=1}^{\infty} n (-\frac{1}{2})^n$ について、等比級数の微分を利用します。

まず、 $|x|<1$ のとき $\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$ であることを利用します。

両辺を微分すると、$\sum_{n=1}^{\infty} nx^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$ となります。

両辺に $x$ をかけると、$\sum_{n=1}^{\infty} nx^n = \frac{x}{(1-x)^2}$ となります。

ここで、$x = -\frac{1}{2}$ を代入すると、

$\sum_{n=1}^{\infty} n(-\frac{1}{2})^n = \frac{-\frac{1}{2}}{(1+\frac{1}{2})^2} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{9}{4}} = -\frac{2}{9}$ となります。

2. 極限値：

(1) $\lim_{n\to\infty} \frac{(2n+1)^n}{(2n)^n} = \lim_{n\to\infty} (\frac{2n+1}{2n})^n = \lim_{n\to\infty} (1+\frac{1}{2n})^n = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$

(2) $\lim_{x\to 0} \frac{x-\sin x}{x^3}$ はロピタルの定理を使う。

$\lim_{x\to 0} \frac{x-\sin x}{x^3} = \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{3x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{6x} = \lim_{x\to 0} \frac{\cos x}{6} = \frac{1}{6}$

(3) $\lim_{x\to 0} (\cosh x)^{\frac{1}{x^2}}$

$\lim_{x\to 0} (\cosh x)^{\frac{1}{x^2}} = \lim_{x\to 0} e^{\frac{1}{x^2} \ln(\cosh x)} = e^{\lim_{x\to 0} \frac{\ln(\cosh x)}{x^2}}$

ここで、$\lim_{x\to 0} \frac{\ln(\cosh x)}{x^2}$ をロピタルの定理を使って計算する。

$\lim_{x\to 0} \frac{\ln(\cosh x)}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{\sinh x}{\cosh x}}{2x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sinh x}{2x \cosh x} = \lim_{x\to 0} \frac{\cosh x}{2\cosh x + 2x \sinh x} = \frac{1}{2}$

よって、$\lim_{x\to 0} (\cosh x)^{\frac{1}{x^2}} = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$

(4) $\lim_{x\to \infty} x (\frac{\pi}{2} - \tan^{-1} x)$

$t = \frac{1}{x}$ とすると、$x \to \infty$ のとき $t \to 0$ となる。

$\lim_{x\to \infty} x (\frac{\pi}{2} - \tan^{-1} x) = \lim_{t\to 0} \frac{1}{t} (\frac{\pi}{2} - \tan^{-1} \frac{1}{t}) = \lim_{t\to 0} \frac{1}{t} \tan^{-1} t = \lim_{t\to 0} \frac{\tan^{-1} t}{t} = 1$

3. 微分：

(1) $(\frac{7x}{(x^2+1)^2})' = \frac{7(x^2+1)^2 - 7x \cdot 2(x^2+1)(2x)}{(x^2+1)^4} = \frac{7(x^2+1) - 28x^2}{(x^2+1)^3} = \frac{7-21x^2}{(x^2+1)^3}$

(2) $(\sin^{-1} x + x\sqrt{1-x^2})' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \sqrt{1-x^2} + x \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \sqrt{1-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1 + 1 - x^2 - x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{2-2x^2}{\sqrt{1-x^2}} = 2\sqrt{1-x^2}$

(3) $(\tan^{-1}(2x+1))' = \frac{1}{1+(2x+1)^2} \cdot 2 = \frac{2}{1+4x^2+4x+1} = \frac{2}{4x^2+4x+2} = \frac{1}{2x^2+2x+1}$

(4) $y = x^{\sin x}$ より $\ln y = \sin x \ln x$

$\frac{y'}{y} = \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}$

$y' = x^{\sin x} (\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x})$

4. $f'_+(0)$ と $f'_-(0)$

$f'_+(0) = \lim_{x \to +0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \to +0} \frac{x \tan^{-1} \frac{1}{x} - 0}{x} = \lim_{x \to +0} \tan^{-1} \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$

$f'_-(0) = \lim_{x \to -0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \to -0} \frac{x \tan^{-1} \frac{1}{x} - 0}{x} = \lim_{x \to -0} \tan^{-1} \frac{1}{x} = -\frac{\pi}{2}$

5. $y=(\frac{x}{e^x})^3$ の $n$ 階導関数 $y^{(n)}$

$y = x^3 e^{-3x}$

$y' = 3x^2 e^{-3x} - 3x^3 e^{-3x} = (3x^2 - 3x^3)e^{-3x}$

$y'' = (6x-9x^2)e^{-3x} + (3x^2-3x^3)(-3)e^{-3x} = (6x-18x^2+9x^3)e^{-3x}$

ライプニッツの公式より

$y^{(n)} = \sum_{k=0}^n {}_n C_k (x^3)^{(k)} (e^{-3x})^{(n-k)}$

$y^{(n)} = x^3 (-3)^n e^{-3x} + n 3x^2 (-3)^{n-1} e^{-3x} + \frac{n(n-1)}{2} 6x (-3)^{n-2} e^{-3x} + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} 6 (-3)^{n-3} e^{-3x}$

$y^{(n)} = e^{-3x} [(-3)^n x^3 + n (-3)^{n-1} 3x^2 + n(n-1) (-3)^{n-2} 3x + n(n-1)(n-2) (-3)^{n-3}]$

3. **最終的な答え**

1. $\sum_{n=1}^{\infty} n (-\frac{1}{2})^n = -\frac{2}{9}$

2. (1) $\sqrt{e}$ (2) $\frac{1}{6}$ (3) $\sqrt{e}$ (4) $1$

3. (1) $\frac{7-21x^2}{(x^2+1)^3}$ (2) $2\sqrt{1-x^2}$ (3) $\frac{1}{2x^2+2x+1}$ (4) $x^{\sin x} (\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x})$

4. $f'_+(0) = \frac{\pi}{2}$, $f'_-(0) = -\frac{\pi}{2}$

5. $y^{(n)} = e^{-3x} [(-3)^n x^3 + n (-3)^{n-1} 3x^2 + n(n-1) (-3)^{n-2} 3x + n(n-1)(n-2) (-3)^{n-3}]$