## 問題１の内容

## 問題１の内容

関数 $y = x^2 \cos x$ の $n$ 階導関数 $y^{(n)}$ を求める。

## 解き方の手順

ライプニッツの公式を利用して解きます。ライプニッツの公式とは、２つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ の積の $n$ 階導関数について、

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k u^{(n-k)} v^{(k)}$

が成り立つというものです。ここで、${}_n C_k$ は二項係数を表します。

この問題では、$u(x) = x^2$、$v(x) = \cos x$ とおきます。

まず、$u(x) = x^2$ の導関数を求めます。

$u'(x) = 2x$

$u''(x) = 2$

$u'''(x) = 0$

$u(x)$ の3階以上の導関数はすべて0になります。

次に、$v(x) = \cos x$ の導関数を求めます。

$v'(x) = -\sin x$

$v''(x) = -\cos x$

$v'''(x) = \sin x$

$v''''(x) = \cos x$

$v(x)$ の導関数は周期的に変化します。

一般的に、

$v^{(n)}(x) = \cos(x + \frac{n\pi}{2})$

と表すことができます。

したがって、$y = x^2 \cos x$ の $n$ 階導関数は、ライプニッツの公式より、

$y^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k u^{(n-k)} v^{(k)}$

$= {}_n C_0 u^{(n)} v^{(0)} + {}_n C_1 u^{(n-1)} v^{(1)} + {}_n C_2 u^{(n-2)} v^{(2)} + \cdots$

ここで、$u(x)$ の3階以上の導関数は0なので、以下の３項のみを考えれば良いです。

$y^{(n)} = {}_n C_0 u^{(n)} v^{(0)} + {}_n C_1 u^{(n-1)} v^{(1)} + {}_n C_2 u^{(n-2)} v^{(2)}$

$y^{(n)} = u(x) v^{(n)}(x) + n u'(x) v^{(n-1)}(x) + \frac{n(n-1)}{2} u''(x) v^{(n-2)}(x)$

これに、$u(x) = x^2$、$u'(x) = 2x$、$u''(x) = 2$ を代入すると、

$y^{(n)} = x^2 \cos(x + \frac{n\pi}{2}) + n(2x) \cos(x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + \frac{n(n-1)}{2} (2) \cos(x + \frac{(n-2)\pi}{2})$

$y^{(n)} = x^2 \cos(x + \frac{n\pi}{2}) + 2nx \cos(x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + n(n-1) \cos(x + \frac{(n-2)\pi}{2})$

## 最終的な答え

$y^{(n)} = x^2 \cos(x + \frac{n\pi}{2}) + 2nx \cos(x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + n(n-1) \cos(x + \frac{(n-2)\pi}{2})$