はい、承知いたしました。いくつか問題が書かれていますが、最初の方にある問題から順番に解いていきます。

はい、承知いたしました。いくつか問題が書かれていますが、最初の方にある問題から順番に解いていきます。

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1. 問題の内容**

(1) $y = x^2 e^{3x}$ を微分する。

(2) $y = \sin^{-1}\sqrt{2x}$ を微分する。

(3) $y = (2x)^x$ を微分する。

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2. 解き方の手順**

(1) $y = x^2 e^{3x}$ の微分

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = x^2$, $v = e^{3x}$ とすると、

$u' = 2x$, $v' = 3e^{3x}$ となります。

よって、

$y' = (x^2)' e^{3x} + x^2 (e^{3x})'$

$y' = 2x e^{3x} + x^2 (3 e^{3x})$

$y' = 2x e^{3x} + 3x^2 e^{3x}$

$y' = (3x^2 + 2x)e^{3x}$

(2) $y = \sin^{-1}\sqrt{2x}$ の微分

合成関数の微分公式を用います。

$y = \sin^{-1} u$, $u = \sqrt{2x}$ とすると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}$

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{2x}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x}}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\sqrt{2x})^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2x}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - 2x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2x}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{2x(1 - 2x)}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{2x - 4x^2}}$

(3) $y = (2x)^x$ の微分

両辺の対数を取ります。

$\ln y = \ln (2x)^x$

$\ln y = x \ln (2x)$

両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln (2x) + x \cdot \frac{1}{2x} \cdot 2$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln (2x) + 1$

$\frac{dy}{dx} = y (\ln (2x) + 1)$

$\frac{dy}{dx} = (2x)^x (\ln (2x) + 1)$

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3. 最終的な答え**

(1) $y' = (3x^2 + 2x)e^{3x}$

(2) $y' = \frac{1}{\sqrt{2x - 4x^2}}$

(3) $y' = (2x)^x (\ln (2x) + 1)$