与えられたべき級数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)^n}{n!} x^n$ の収束半径を求める。

1. 問題の内容

与えられたべき級数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)^n}{n!} x^n$ の収束半径を求める。

2. 解き方の手順

べき級数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ の収束半径 $R$ は、次の公式で求めることができます。

$R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$

または、

$R = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$ (この極限が存在する場合)

この問題の場合、$a_n = \frac{(2n)^n}{n!}$ です。

まず、第2の公式を使って収束半径を求めます。

$\frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(2n)^n}{n!} \div \frac{(2(n+1))^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{(2n)^n}{n!} \cdot \frac{(n+1)!}{(2n+2)^{n+1}} = \frac{(2n)^n (n+1)!}{n! (2n+2)^{n+1}} = \frac{(2n)^n (n+1)}{(2n+2)^{n+1}} = \frac{(2n)^n (n+1)}{(2(n+1))^{n+1}} = \frac{(2n)^n (n+1)}{2^{n+1} (n+1)^{n+1}} = \frac{2^n n^n (n+1)}{2^{n+1} (n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{2 (n+1)^n} = \frac{1}{2} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{2} \left(\frac{n+1}{n}\right)^{-n} = \frac{1}{2} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{-n}$

したがって、

$\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{-n} = \frac{1}{2} \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{-n} = \frac{1}{2} e^{-1} = \frac{1}{2e}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2e}$