(1) 極限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{1 - \cos 2x}$ を求めよ。 (2) 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n + 2^n}{3^n}$ の和を求めよ。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) 極限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{1 - \cos 2x}$ を求めよ。

(2) 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n + 2^n}{3^n}$ の和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 極限の計算

ロピタルの定理を使うことを検討します。$x \to 0$ のとき、$e^x - 1 - x \to 0$ かつ $1 - \cos 2x \to 0$ なので、不定形 $\frac{0}{0}$ の形です。

まず、分子と分母をそれぞれ微分します。

分子の微分: $\frac{d}{dx}(e^x - 1 - x) = e^x - 1$

分母の微分: $\frac{d}{dx}(1 - \cos 2x) = 2\sin 2x$

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2\sin 2x}$ となりますが、これもまた不定形 $\frac{0}{0}$ です。再度ロピタルの定理を適用します。

分子の微分: $\frac{d}{dx}(e^x - 1) = e^x$

分母の微分: $\frac{d}{dx}(2\sin 2x) = 4\cos 2x$

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{4\cos 2x}$ となります。$x \to 0$ のとき、$e^x \to 1$ および $4\cos 2x \to 4$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{4\cos 2x} = \frac{1}{4}$

(2) 無限級数の和の計算

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n + 2^n}{3^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{3^n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{3^n}$

と分解します。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{3^n} = \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{2}{3})^n = \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}} = 2$

次に、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{3^n}$ を計算します。

$S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \frac{4}{3^4} + \dots$

$\frac{1}{3}S = \frac{1}{3^2} + \frac{2}{3^3} + \frac{3}{3^4} + \dots$

$S - \frac{1}{3}S = \frac{2}{3}S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \frac{1}{3^4} + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{3})^n = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}$

$\frac{2}{3}S = \frac{1}{2}$

$S = \frac{3}{4}$

よって、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{3^n} = 2S = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{2}$

したがって、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n + 2^n}{3^n} = \frac{3}{2} + 2 = \frac{7}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{4}$

(2) $\frac{7}{2}$