$n$ を自然数とするとき、$y = (x-1)e^x$ の第 $n$ 次導関数を求める。

1. 問題の内容

$n$ を自然数とするとき、$y = (x-1)e^x$ の第 $n$ 次導関数を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y$ の1次導関数、2次導関数を計算し、規則性を見つける。

$y = (x-1)e^x$

1次導関数：

$y' = \frac{d}{dx} ((x-1)e^x) = e^x + (x-1)e^x = xe^x$

2次導関数：

$y'' = \frac{d}{dx} (xe^x) = e^x + xe^x = (x+1)e^x$

3次導関数：

$y''' = \frac{d}{dx} ((x+1)e^x) = e^x + (x+1)e^x = (x+2)e^x$

このように、導関数の次数が1増えるごとに、$x$ に足される数も1増えることが予想される。

つまり、$y^{(n)} = (x+n-1)e^x$ と予想できる。

これを数学的帰納法で証明する。

(i) $n=1$ のとき、$y' = (x+1-1)e^x = xe^x$ となり成り立つ。

(ii) $n=k$ のとき、$y^{(k)} = (x+k-1)e^x$ が成り立つと仮定する。

(iii) $n=k+1$ のとき、

$y^{(k+1)} = \frac{d}{dx} y^{(k)} = \frac{d}{dx} ((x+k-1)e^x) = e^x + (x+k-1)e^x = (x+k)e^x$

これは、$y^{(k+1)} = (x+(k+1)-1)e^x$ となり、$n=k+1$ のときも成り立つ。

したがって、数学的帰納法により、$y^{(n)} = (x+n-1)e^x$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$(x+n-1)e^x$