極座標で表された曲線 $r = \cos^2\theta \sin\theta$ ($0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$) で囲まれる部分の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

極座標で表された曲線 $r = \cos^2\theta \sin\theta$ ($0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$) で囲まれる部分の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

極座標における面積の公式を利用します。面積 $S$ は次の積分で求められます。

$$S = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 d\theta$$

この問題の場合、$r = \cos^2\theta \sin\theta$ であり、$\alpha = 0$、$\beta = \frac{\pi}{2}$ です。したがって、

$$S = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos^2\theta \sin\theta)^2 d\theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^4\theta \sin^2\theta d\theta$$

ここで、$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ を用いて積分を書き換えます。

$$S = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^4\theta (1 - \cos^2\theta) d\theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos^4\theta - \cos^6\theta) d\theta$$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x dx = \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}$ (nが偶数の場合)

という公式を使います。

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^4\theta d\theta = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16}$$

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^6\theta d\theta = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{32}$$

よって、

$$S = \frac{1}{2} \left( \frac{3\pi}{16} - \frac{5\pi}{32} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{6\pi}{32} - \frac{5\pi}{32} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{32} = \frac{\pi}{64}$$

3. 最終的な答え

$S = \frac{\pi}{64}$