与えられた極限を計算します。 $\lim_{x \to +0} \log x^{\sqrt{x}}$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$\lim_{x \to +0} \log x^{\sqrt{x}}$

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を用いて式を簡略化します。

$\log x^{\sqrt{x}} = \sqrt{x} \log x$

したがって、求める極限は

$\lim_{x \to +0} \sqrt{x} \log x$

これは $0 \cdot (-\infty)$ の不定形です。

この不定形を解消するために、$y = \frac{1}{x}$ という変数変換を行います。

$x \to +0$ のとき、$y \to +\infty$ となります。

したがって、極限は

$\lim_{y \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{y}} \log \frac{1}{y} = \lim_{y \to +\infty} \frac{-\log y}{\sqrt{y}}$

これは $\frac{-\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{y \to +\infty} \frac{-\log y}{\sqrt{y}} = \lim_{y \to +\infty} \frac{-\frac{1}{y}}{\frac{1}{2\sqrt{y}}} = \lim_{y \to +\infty} \frac{-2\sqrt{y}}{y} = \lim_{y \to +\infty} \frac{-2}{\sqrt{y}} = 0$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to +0} \log x^{\sqrt{x}} = 0$