$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2n^2 - k^2}}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2n^2 - k^2}}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この極限はリーマン和の形に変形することで定積分として計算できます。

まず、与えられた式を変形します。

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2n^2 - k^2}} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^2(2 - (k/n)^2)}}$

$= \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n\sqrt{2 - (k/n)^2}}$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2 - (k/n)^2}}$

ここで、$x_k = k/n$ とおくと、$k=1$ から $k=n$ まで動くとき、$x_k$ は $1/n$ から $n/n = 1$ まで動きます。したがって、上の式は以下の定積分で表されます。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{2 - x^2}} dx$

ここで、$x = \sqrt{2} \sin \theta$ と置換します。すると、$dx = \sqrt{2} \cos \theta d\theta$ となります。

$x = 0$ のとき、$\sqrt{2}\sin\theta = 0$ なので $\theta = 0$。

$x = 1$ のとき、$\sqrt{2}\sin\theta = 1$ なので $\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$、つまり $\theta = \frac{\pi}{4}$。

したがって、積分は

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sqrt{2 - 2\sin^2 \theta}} \sqrt{2} \cos \theta d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{2} \cos \theta}{\sqrt{2} \cos \theta} d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 1 d\theta$

$= [\theta]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4}$