$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \, dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \, dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\tan x$ を $\frac{\sin x}{\cos x}$ と書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x}{\cos x} \, dx$

次に、置換積分を行います。$u = \cos x$ とすると、$du = -\sin x \, dx$ となります。

積分範囲も変更する必要があります。

$x = 0$ のとき、$u = \cos 0 = 1$

$x = \frac{\pi}{4}$ のとき、$u = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{1}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} -\frac{1}{u} \, du = -\int_{1}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{1}{u} \, du$

積分を実行します。

$-\int_{1}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{1}{u} \, du = -[\ln |u|]_{1}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} = -(\ln \frac{1}{\sqrt{2}} - \ln 1)$

$\ln 1 = 0$ であるため、

$=- \ln \frac{1}{\sqrt{2}} = - \ln 2^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln 2$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \ln 2$