次の定積分を計算します。 $\int_{0}^{2} \frac{x}{(1+x^2)^2} dx$

はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、指定された問題番号の積分問題を解きます。

**問題6:**

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{0}^{2} \frac{x}{(1+x^2)^2} dx$

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int \frac{x}{(1+x^2)^2} dx$ を求めます。

置換積分を用います。$u = 1 + x^2$ と置くと、$du = 2x dx$ となります。したがって、$x dx = \frac{1}{2} du$ です。

$\int \frac{x}{(1+x^2)^2} dx = \int \frac{1}{u^2} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{-2} du$

$= \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{2u} + C = -\frac{1}{2(1+x^2)} + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{0}^{2} \frac{x}{(1+x^2)^2} dx = \left[ -\frac{1}{2(1+x^2)} \right]_{0}^{2} = -\frac{1}{2(1+2^2)} - \left(-\frac{1}{2(1+0^2)}\right)$

$= -\frac{1}{2(5)} + \frac{1}{2(1)} = -\frac{1}{10} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{10} + \frac{5}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

**問題8:**

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{1}^{2} xe^{x^2} dx$

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int xe^{x^2} dx$ を求めます。

置換積分を用います。$u = x^2$ と置くと、$du = 2x dx$ となります。したがって、$x dx = \frac{1}{2} du$ です。

$\int xe^{x^2} dx = \int e^u \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int e^u du = \frac{1}{2} e^u + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{1}^{2} xe^{x^2} dx = \left[ \frac{1}{2} e^{x^2} \right]_{1}^{2} = \frac{1}{2} e^{2^2} - \frac{1}{2} e^{1^2} = \frac{1}{2} e^4 - \frac{1}{2} e^1 = \frac{1}{2}(e^4 - e)$

3. 最終的な答え

問題6: $\frac{2}{5}$

問題8: $\frac{e^4 - e}{2}$