与えられた問題は、以下の５つの問題から構成されています。 1. 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} n (-\frac{1}{2})^n$ の和を求める問題

1. 問題の内容

与えられた問題は、以下の５つの問題から構成されています。

1. 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} n (-\frac{1}{2})^n$ の和を求める問題

2. ４つの極限 $\lim_{n\to\infty} (\frac{2n+1}{2n})^n$, $\lim_{x\to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$, $\lim_{x\to 0} (\cosh x)^{\frac{1}{x^2}}$, $\lim_{x\to\infty} x (\frac{\pi}{2} - \tan^{-1} x)$ を求める問題

3. ４つの関数 $f(x) = \frac{7x}{(x^2+1)^2}$, $f(x) = \sin^{-1}x + x\sqrt{1-x^2}$, $f(x) = \tan^{-1}(2x+1)$, $y=x^{\sin x}$ を微分する問題

4. 関数 $f(x) = \begin{cases} x \tan^{-1} \frac{1}{x} & (x \neq 0) \\ 0 & (x=0) \end{cases}$ に対して、$f'_+(0)$ と $f'_-(0)$ を求める問題

5. 関数 $y = (\frac{x}{e^x})^3$ の $n$ 階導関数 $y^{(n)}$ を求める問題

2. 解き方の手順

以下では、各問題について、解き方の手順を説明します。

1. 無限級数の和

級数 $\sum_{n=1}^{\infty} n (-\frac{1}{2})^n$ は、べき級数 $\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$ （ただし、$|x|<1$）を微分することで求めることができます。

まず、$\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$ を微分すると、$\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$ となります。

両辺に $x$ を掛けると、$\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n} = \frac{x}{(1-x)^2}$ となります。

ここで、$x = -\frac{1}{2}$ を代入すると、$\sum_{n=1}^{\infty} n (-\frac{1}{2})^{n} = \frac{-\frac{1}{2}}{(1+\frac{1}{2})^2} = \frac{-\frac{1}{2}}{(\frac{3}{2})^2} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{9}{4}} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} = -\frac{2}{9}$ となります。

2. 極限

(1) $\lim_{n\to\infty} (\frac{2n+1}{2n})^n = \lim_{n\to\infty} (1+\frac{1}{2n})^n = \lim_{n\to\infty} (1+\frac{1}{2n})^{2n \cdot \frac{1}{2}} = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$

(2) $\lim_{x\to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$ は、ロピタルの定理を３回適用することで計算できます。

$\lim_{x\to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} = \lim_{x\to 0} \frac{1 - \cos x}{3x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{6x} = \lim_{x\to 0} \frac{\cos x}{6} = \frac{1}{6}$

(3) $\lim_{x\to 0} (\cosh x)^{\frac{1}{x^2}} = \lim_{x\to 0} e^{\frac{1}{x^2} \ln(\cosh x)}$ であり、$y=\lim_{x\to 0} \frac{\ln(\cosh x)}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{\tanh x}{2x} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{\cosh^2 x}}{2} = \frac{1}{2}$ よって、求める極限は $e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$

(4) $\lim_{x\to\infty} x (\frac{\pi}{2} - \tan^{-1} x) = \lim_{x\to\infty} x \tan^{-1} (\frac{1}{x})$。ここで、$t = \frac{1}{x}$ とおくと、$\lim_{t\to 0} \frac{\tan^{-1} t}{t} = \lim_{t\to 0} \frac{\frac{1}{1+t^2}}{1} = 1$

3. 微分

(1) $f(x) = \frac{7x}{(x^2+1)^2}$ の微分：$f'(x) = \frac{7(x^2+1)^2 - 7x(2(x^2+1)(2x))}{(x^2+1)^4} = \frac{7(x^2+1)(x^2+1 - 4x^2)}{(x^2+1)^4} = \frac{7(1-3x^2)}{(x^2+1)^3}$

(2) $f(x) = \sin^{-1}x + x\sqrt{1-x^2}$ の微分：$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \sqrt{1-x^2} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \cdot (-2x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \sqrt{1-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1 + (1-x^2) - x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{2(1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}} = 2\sqrt{1-x^2}$

(3) $f(x) = \tan^{-1}(2x+1)$ の微分：$f'(x) = \frac{1}{1+(2x+1)^2} \cdot 2 = \frac{2}{1+4x^2+4x+1} = \frac{2}{4x^2+4x+2} = \frac{1}{2x^2+2x+1}$

(4) $y=x^{\sin x}$ の微分：$\ln y = \sin x \ln x$ より、$\frac{y'}{y} = \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}$。よって、$y' = x^{\sin x} (\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x})$

4. 片側微分

$f(x) = \begin{cases} x \tan^{-1} \frac{1}{x} & (x \neq 0) \\ 0 & (x=0) \end{cases}$ について、$f'_+(0) = \lim_{h\to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h\to 0^+} \frac{h \tan^{-1} \frac{1}{h} - 0}{h} = \lim_{h\to 0^+} \tan^{-1} \frac{1}{h} = \frac{\pi}{2}$

$f'_-(0) = \lim_{h\to 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h\to 0^-} \frac{h \tan^{-1} \frac{1}{h} - 0}{h} = \lim_{h\to 0^-} \tan^{-1} \frac{1}{h} = -\frac{\pi}{2}$

5. n階導関数

$y = (\frac{x}{e^x})^3 = x^3 e^{-3x}$ の $n$ 階導関数：

$y' = 3x^2 e^{-3x} - 3x^3 e^{-3x} = (3x^2 - 3x^3) e^{-3x}$

$y'' = (6x - 9x^2)e^{-3x} - 3(3x^2 - 3x^3) e^{-3x} = (6x - 18x^2 + 9x^3)e^{-3x}$

$y''' = (6-36x+27x^2)e^{-3x} - 3(6x - 18x^2 + 9x^3)e^{-3x} = (6-54x + 81x^2 - 27x^3)e^{-3x}$

一般に、$y^{(n)} = \sum_{k=0}^{3} {3 \choose k} x^{3-k} (e^{-3x})^{(n)} = e^{-3x} \sum_{k=0}^{3} {3 \choose k} 6 x^{3-k} D^n e^{-3x}$, 求める導関数は Leibniz rule を用いて、 $y^{(n)} = e^{-3x}\sum_{k=0}^{\min(n,3)} \binom{n}{k} D^k(x^3) D^{n-k} e^{-3x}= e^{-3x}\sum_{k=0}^{\min(n,3)} \binom{n}{k} \frac{6}{(3-k)!}x^{3-k} (-3)^{n-k}$

3. 最終的な答え

1. $\sum_{n=1}^{\infty} n (-\frac{1}{2})^n = -\frac{2}{9}$

2. (1) $\sqrt{e}$, (2) $\frac{1}{6}$, (3) $\sqrt{e}$, (4) $1$

3. (1) $f'(x) = \frac{7(1-3x^2)}{(x^2+1)^3}$, (2) $f'(x) = 2\sqrt{1-x^2}$, (3) $f'(x) = \frac{1}{2x^2+2x+1}$, (4) $y' = x^{\sin x} (\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x})$

4. $f'_+(0) = \frac{\pi}{2}$, $f'_-(0) = -\frac{\pi}{2}$

5. $y^{(n)} = e^{-3x}\sum_{k=0}^{\min(n,3)} \binom{n}{k} \frac{6}{(3-k)!}x^{3-k} (-3)^{n-k}$