与えられた定積分 $\int_0^1 \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} dx$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた定積分

$\int_0^1 \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} dx$

を計算する。

2. 解き方の手順

まず、積分変数を置換する。

$u = e^x + e^{-x}$ とおくと、

$\frac{du}{dx} = e^x - e^{-x}$ となる。

したがって、$du = (e^x - e^{-x})dx$ である。

積分の範囲も変更する必要がある。

$x=0$ のとき、$u = e^0 + e^{-0} = 1 + 1 = 2$

$x=1$ のとき、$u = e^1 + e^{-1} = e + \frac{1}{e}$

したがって、積分は次のようになる。

$\int_2^{e+\frac{1}{e}} \frac{1}{u} du$

$\int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C$ であるから、

$\int_2^{e+\frac{1}{e}} \frac{1}{u} du = \ln |u| \Big|_2^{e+\frac{1}{e}} = \ln(e+\frac{1}{e}) - \ln(2) = \ln(\frac{e+\frac{1}{e}}{2}) = \ln(\frac{e^2+1}{2e})$

また、$e + \frac{1}{e} = \frac{e^2+1}{e}$ なので、

$\ln(\frac{e^2+1}{e}) - \ln(2) = \ln(e^2+1) - \ln(e) - \ln(2) = \ln(e^2+1) - \ln(2e)$

最終的に、$\ln(e+\frac{1}{e}) - \ln 2 = \ln(\frac{e^2+1}{e}) - \ln 2 = \ln(\frac{e^2+1}{2e})$

3. 最終的な答え

$\ln(\frac{e^2+1}{2e})$