関数 $y = x^3 + 2$ のグラフに点 $C(1, 2)$ から引いた接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^3 + 2$ のグラフに点 $C(1, 2)$ から引いた接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、接点の座標を $(t, t^3 + 2)$ とおきます。

次に、$y = x^3 + 2$ を微分して、$y' = 3x^2$ となります。

したがって、点 $(t, t^3 + 2)$ における接線の傾きは $3t^2$ となります。

この接線の方程式は、点 $(t, t^3 + 2)$ を通り傾きが $3t^2$ であるから、

$y - (t^3 + 2) = 3t^2(x - t)$

と表されます。

この接線が点 $C(1, 2)$ を通るので、この方程式に $x = 1, y = 2$ を代入すると、

$2 - (t^3 + 2) = 3t^2(1 - t)$

$-t^3 = 3t^2 - 3t^3$

$2t^3 - 3t^2 = 0$

$t^2(2t - 3) = 0$

よって、$t = 0, \frac{3}{2}$ となります。

(i) $t = 0$ のとき、接点の座標は $(0, 2)$ であり、接線の傾きは $3(0)^2 = 0$ となるので、接線の方程式は $y = 2$ となります。

(ii) $t = \frac{3}{2}$ のとき、接点の座標は $(\frac{3}{2}, (\frac{3}{2})^3 + 2) = (\frac{3}{2}, \frac{27}{8} + 2) = (\frac{3}{2}, \frac{43}{8})$ であり、接線の傾きは $3(\frac{3}{2})^2 = 3(\frac{9}{4}) = \frac{27}{4}$ となるので、接線の方程式は、

$y - \frac{43}{8} = \frac{27}{4}(x - \frac{3}{2})$

$y = \frac{27}{4}x - \frac{81}{8} + \frac{43}{8}$

$y = \frac{27}{4}x - \frac{38}{8}$

$y = \frac{27}{4}x - \frac{19}{4}$

3. 最終的な答え

$y = 2$

$y = \frac{27}{4}x - \frac{19}{4}$